假 (邏輯值)

逻辑上的假是指否定其真值的狀態，是真的逻辑非，元数逻辑运算符。在命題邏輯的真值函数系統中，其值只有二個，分別是真和假。常常會用0代表假（特別是在布林邏輯和计算机科学中）, O（波兰表示法表示的話，是pq）以及符號 \bot。

在許多中（例如直觉主义逻辑）有引入命題常數（無效連接詞）\bot，其真值上的意義和上述相同，這可以視為是荒謬的命題。

经典逻辑和布林逻辑
在逻辑代数中，每一個變數的真值不是為真（1），就是假（0）。

在经典命题逻辑裡，每一個命题都會有其真值，不是真，就是假。有些經典邏輯系統會有專門表示假的符號（0或\bot），有些則是用邏輯公式表示，例如和.

在经典逻辑和布林逻辑中，真和假都是相反的，兩者的關係是逻辑非；真的逻辑非即為假，假的逻辑非即為真。

真值表
來源

逻辑非（¬）
假的逻辑非為真，不止在在经典逻辑和布林逻辑中成立，在大部份邏輯系統都成立，原因如下。

邏輯與（AND ∧）
假 ∧ 真 = 假（假 AND 任意變數的結果是假）

邏輯或（OR ∨）
假 ∨ 真 = 真（二個中至少有一個為真，或的結果就是真）

蘊涵（→）
假 → 真 = 真（蘊涵的前件為假，結果會是空洞的真）

假、逻辑非和矛盾
在大部份逻辑系統中，假、逻辑非和蘊涵的關係如下：
:
其實，這是一些系統定義逻辑非的方式，例如直觉主义逻辑，可以在命題演算中得到證明，其中否定是一個基本連接詞。因為通常是定理或公理，因此假的邏輯非即為真。

矛盾是指一個命题若假設為真，會蕴涵出假的結果（）。利用上述的等效，可以推導出φ是矛盾。若一個陳述會蕴涵出假，可以稱此陳述為矛盾，矛盾和假常常會混用。

邏輯系統可以包括爆炸原理，針對所有的，也可以不包括爆炸原理。根據該定理，矛盾和假是等效的。

一致性
有使用"\bot"聯結詞的具有一致性，若且唯若其定理中沒有定義「假」。在沒有定義命題常數的情形下，可以用一些取代的事物來定義一致性。

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參考資料