雙曲四元數

雙曲四元數（hyperbolic quaternions）是一種抽象代数裡的非结合代数，其型式如下，元素均為实数
:q = a + bi + cj + dk, \quad a,b,c,d \in \mathbb{R} \!
其中i, j和k的平方是+1，{i, j, k}中相異元素相乘，會依照反交換律。

雙曲四元數的四維代數結合了一些複四元數的性質。這兩種代數都包括了與分裂複數平面同構的子代數。四元數代數H可以視為是複數空間的聯集，因此雙曲四元數代數是共享相同實數線之分裂複數的平面束。

在1890年代在其《Algebra of Physics》一書中提出此一概念，最早是透過美國科學促進會在1891年提出，後來是在他1894年發表，五本《Papers in Space Analysis》的書裡，在1900年也編入理海大學的一系列講義中。

代數結構
雙曲四元數的集合類似四元數，會形成四維实数的向量空间。以下线性组合

:q = a+bi+cj+dk

為雙曲四元數若a, b, c, d是實數，且基底集\{1,i,j,k\}的乘積如下：

:ij=k=-ji
:jk=i=-kj
:ki=j=-ik
:i^2=j^2=k^2=+1

利用分配律，可以用上述關係處理二個雙曲四元數的乘法。

雙曲四元數和傳統四元數不同，雙曲四元數不遵守结合律。例如，(ij)j = kj = -i，而i(jj) = i。此例也可以看出雙曲四元數甚至不是交错代数。

前三個關係可以看出其中非實數的基底元素遵守反交換律。這些基底集不滿足交換律，因此在數學結構上，不會形成群，但是以下集合

:\{1,i,j,k,-1,-i,-j,-k\}

會形成么擬群或圈（loop），是有單位元素的拟群。雙曲四元數集合M中任何包含實軸的子平面都構成一個分裂複數平面，若

:q^*=a-bi-cj-dk

是q的共軛，則乘積

:q(q^*)=a^2-b^2-c^2-d^2

是时空理論中使用的二次型。對於事件p和q，以下的雙線性形式
: \eta (p,q) = -p_0q_0 + p_1q_1 + p_2q_2 + p_3q_3
是雙曲四元數乘積pq*實部的負值，用在閔考斯基時空裡。

其可逆元集合 U = {q : qq* ≠ 0 }在乘法下不封閉。
參考資料