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莱布尼兹-牛顿微积分之争

Wikipedia · 2026-06-10 维基百科 👁 1 阅读

庭園中，牛頓以及莱布尼兹雕像的合成照。]]

在上，微积分爭議（，直译為「優先權糾紛」）是莱布尼兹和牛顿两人关于誰先发現微积分的论战。这个是一场重大的知识争论，始于1699年，在1712年达到顶峰。牛顿将微积分的思想运用到《自然哲学的数学原理》中，但是他并未公开发表他的发現。莱布尼茨首先发表了他的微积分著作，而牛顿的支持者指责莱布尼茨抄袭了牛顿未发表的思想。现代的共识是，这两个人独立发展了他们的想法。他们对微积分的發現被称为“自阿基米德时代以来数学上最伟大的进步”。

到牛顿和莱布尼茨时代，欧洲数学家已经为数学分析思想的形成做出了重大贡献。由于物理学与工程学的实际需要，微积分或与其类似的数学思想被诸多数学家提出并应用。

17世紀的科學優先權
在17世紀的科學家眼中，是非常重要的問題。但此時科學期刊的概念才剛出現；當時各科學家間，也還沒確立「誰先發現某個科學現象」的機制。當時的科學家通常會用很多方法，來確保是自己先發現的：比如玩文字遊戲、把內容以信封密封，並放在安全的地方、與其他科學家交流、或傳送私人資訊等。這個時代下，給法国科学院創辦人马兰·梅森或英國皇家学会首任秘書亨利·奧爾登伯格寫封個人發現的信，就等同將科學發現公諸於世。發現者可以「標記」他發現的時刻，證明他在信件封存時，就知道這件事，而非抄襲自後來發表的材料；但如果某個想法，在發表時有某種很有應用價值的背景，那這個人的優先發現權，會重於最早發現這個想法、但沒有提出明確應用的人。而如果有數學家，主張自己最早發現某某現象時，常會碰上有人駁斥其優先權的風險：駁斥方能回應說，某個主張只是透過已知事實和他人想法為基礎，做出沒什麼技巧的改進，而不是真的有發明出某個想法。

美國科學史家D. Meli稱17世紀為「科學家們針對優先權爭相潑糞的黃金年代」：當時的莱布尼兹就捲入一連串引人側目的科學優先權爭議。首起事件發生在1673年，當時他首度前往倫敦，參訪當時著名的數學家約翰·佩爾，並展示如何以差分法估算近似級數。佩爾則回應表示︁其發現早就在1670年由於里昂發表了。莱布尼兹則回稱他是獨立發現這個近似級數，而且方法還不同。莱布尼兹在給奧爾登伯格的信中寫道，雖然佩爾說Gabriel Mouton確實先他一步發現，但他可以提供自己的筆記草稿，並證明一些Renault與Mouton沒有發現的細節，從而證明他的原創性。但隨後遭到推翻。1673年2月1日，莱布尼兹第二次前往倫敦向英國皇家学会展演机械计算器時，卻碰上截然相反的窘境：當時罗伯特·胡克擔任學會的實驗管理員。他仔細檢查了莱布尼兹的計算機，甚至拆開了後蓋。幾天后，胡克就批評他的作品，並聲稱他可以做出更簡單的模型。萊布尼茨得知此事後返回巴黎，並在寫給奧爾登堡的信中，斷然駁斥胡克的說法、並闡述他對科學行為原則的看法：「須知，有教養而知自持者，每於自己所知與他人成果相符之時，必將其改進和貢獻歸諸先發之人，以免指摘學術不端。其人所求，當為真確慷慨，而非虛偽與不義之利。」︁莱布尼兹在信中提到了與皮埃尔·伽桑狄在天文觀測的實例，以說明何謂正當的科學行為原則：他們分別進行了與伽利略·伽利萊和約翰·赫維留早期類似的觀測。當前兩者在發現自己的觀察晚於後兩者時，就把自己的資料轉交給後兩者。

牛頓處理優先權的方法則不盡相同。以引力相關的平方反比定律的發現為例，胡克以透過开普勒定律分析與個人計算，認為物體運動應沿著類似橢圓的軌道行進；由於無法嚴謹證明，胡克和牛頓報告了自己的假設與猜想。牛頓之後未再與胡克進一步通信，便自行解決了該問題及其逆問題、證明了反平方基於軌道的橢圓率。他在其著作《自然哲学的数学原理》中闡述了，卻未提及胡克。經手兩者手稿的天文學家愛德蒙·哈雷堅持要求把「開普勒第一定律吻合平方反比定律」的驗證寫為「經雷恩、胡克與哈雷獨立核可」。弗拉基米爾·阿諾德表示牛頓在「拒絕發表個人發現」與「持續爭奪優先權」之間選擇兩個都要，而沒有二選一。

背景
在︁牛顿與莱布尼兹的時代，歐洲數學分析思想就已經取得巨大進展：當時的西蒙·斯泰芬（1548–1620）、（1553–1618）、约翰内斯·开普勒（1571–1630）就已研究源流古老、計算圖形面積的穷竭法。其思想透過伽利略·伽利莱影響了博納文圖拉·卡瓦列里（1598–1647）促其發展出祖暅原理。

晚年（1710-1716）的︁莱布尼兹與和牛頓等人長期爭論是誰發現了微積分——其主要爭論莱布尼兹是獨立於牛頓發現了微積分，抑或著只是用另一種符號表達牛頓發現的想法。爭議各方並不質疑萊布尼茨開始研究微分學時，牛頓就已發展出的事實——雖然這只出於牛頓的一面之詞。牛頓曾發表過關於切線的計算並附註：「這僅是某種通用方法的特例，我藉此得以計算曲線並確定極值、極小值及重心。」二十年後，當萊布尼茨的論文已廣為流傳之際，他才向一名學生解釋了具體的推導過程。牛頓的手稿直到他去世後才得以問世。

微積分既可用流數符號表達，亦可用微分符號表達；如前所述，牛頓曾以幾何形式闡述，例如在1687年的《自然哲學的數學原理》中。牛頓早在1666年便已運用流數，但直至1693年才發表其符號系統的論述。萊布尼茲筆記中最早使用微分的記載可追溯至1675年。他在1677年致牛頓的信函中便已採用此符號系統。微分符號亦見於萊布尼茲1684年的論文中。

莱布尼茨独立于牛顿发明微积分的说法基于莱布尼茨：

  • 在牛顿出版任何关于流数法的著作之前几年，他就已经发表了对其方法的描述，
  • 他总是表示这一发现是他自己的发明，而这一说法多年未被质疑
  • 他享有强烈信任，同僚们都认为他出于善意行事
  • 在他的私人文件中展示了他以独立于牛顿路线的方式发展微积分思想。

据莱布尼茨的反对者说，莱布尼茨的主张多年未被质疑这点并不重要。要反驳本案，只需证明他：

  • 看过牛顿在1675年或之前，或至少1677年发表的一些相关论文。
  • 从那些论文中获得了微积分的基本思想

莱布尼茨的笔记首先涉及积分，他认为积分是对无限级数求和的推广，而牛顿则从导数出发。然而，将微积分的发展看作两人完全独立的工作是片面的，忽略了两人都一定程度上了解对方的方法（尽管牛顿在莱布尼茨开始之前确实发展了大部分基础知识），并且在若干方面合作的事实，特别是幂级数。这一点在1676年10月24日写给亨利·奥尔登伯格的信中有所体现。牛顿提到莱布尼茨开发了多种方法，其中一种对他来说是新的。莱布尼茨和牛顿都能看出对方在微积分发明方面走得很远。

莱布尼茨很有可能看到过牛顿的一些手稿。1849年，C. I. 格哈特在翻阅莱布尼茨手稿时，发现了牛顿**'一书的摘录（该书于1704年作为《曲线方程论》的一部分出版，且此前也曾在数学界流传，始于牛顿于1669年将一份副本赠予艾萨克·巴罗，巴罗将其寄给约翰·柯林斯），这些手稿是真迹，并附有用莱布尼茨微分符号重新表达这些摘录内容的注释。但是，手稿的时间未被确定，可能的时间从1675年一直到1704年之后。

發展
这场争吵是事后回顾的。1696年，争端事件发生多年后，双方的立场仍和平：牛顿和莱布尼茨各自有限度地承认对方的工作。洛皮塔尔1696年从莱布尼茨视角出版的微积分著作也承认牛顿1680年代出版的著作“几乎全是关于微积分的”（presque tout de ce calcul）。同时更偏好莱布尼茨符号的便利性。

起初，没有理由怀疑莱布尼茨的善意。1699年，瑞士数学家尼古拉·法蒂奥·丢勒公开指责莱布尼茨抄袭牛顿，尽管他私下曾两次在1692年写给克里斯蒂安·惠更斯的信中指控莱布尼茨抄袭。直到1704年一篇匿名评论刊登，指出牛顿借用了莱布尼茨的流量微积分思想，才有负责任的数学家怀疑两人发明的独立性。

註解
腳註
參考來源
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  • W. W. Rouse Ball (1908) A Short Account of the History of Mathematics], 4th ed.

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  • Richard C. Brown (2012) Tangled origins of the Leibnitzian Calculus: A case study of mathematical revolution, World Scientific
  • Ivor Grattan-Guinness (1997) The Norton History of the Mathematical Sciences. W W Norton.

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外部連結

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