海森堡繪景

海森堡繪景（Heisenberg picture）是量子力學的一種表述，因物理學者维尔纳·海森堡而命名。在海森堡繪景裏，對應於可觀察量的算符會隨著時間流易而演化，而描述量子系統的態向量則與時間無關。使用海森堡繪景，可以很容易地觀察到量子系統與經典系統之間的動力學關係。

海森堡繪景與薛丁格繪景、狄拉克繪景不同。在薛丁格繪景裏，描述量子系統的態向量隨著時間流易而演化，而像位置、動量一類的對應於可觀察量的算符則不會隨著時間流易而演化。{{noteTag|name=TimeDependence|1=在薛丁格繪景裏，假若勢能與時間有關，V=V(t)，則哈密頓算符H=\frac{P^2}{2m}+V(t)也與時間有關。}}在狄拉克繪景裏，態向量與對應於可觀察量的算符都會隨著時間流易而演化。

這三種繪景殊途同歸，所獲得的結果完全一致。這是必然的，因為它們都是在表達同樣的物理現象。

概述
為了便利分析，位於下標的符號{}_\mathcal{H} 、{}_\mathcal{S}分別標記海森堡繪景、薛丁格繪景。

在量子力學的海森堡繪景裏，態向量|\psi \rang_{\mathcal{H}} 不含時，而可觀察量的算符A_{\mathcal{H}}則含時，並且滿足「海森堡運動方程式」：

:\frac{\partial}{\partial {t}}A=[A,\, H]_{Poisson}；

其中， [\ ,\,\ ]_{Poisson}是帕松括號。

通過，可以從哈密頓力學的運動方程式得到海森堡運動方程式：

:[\ ,\,\ ]_{Poisson}\ \to\ \frac{[\ ,\, \ ]}{i\hbar} 。

證明海森堡繪景與薛丁格繪景是等價的。

理論導引
在薛丁格繪景裏，負責時間演化的算符是一種么正算符，稱為時間演化算符。假設時間從0流易到t，而經過這段時間間隔，態向量|\psi(0)\rang_{\mathcal{S}}演化為|\psi(t)\rang_{\mathcal{S}}，這時間演化過程以方程式表示為
:|\psi(t)\rang_{\mathcal{S}} = U(t,0) |\psi(0)\rang_{\mathcal{S}}；

其中，U(t,0)是時間從0流易到t的時間演化算符。

時間演化算符是么正算符{{noteTag|name=unitary0|当U(t,0)是无穷维矩阵时，
U(t,0)U^{\dagger}(t,0)与U^{\dagger}(t,0)U(t,0)未必相等；甚至U(t,0)
的行列指标可以分别是可数无穷维与连续不可数无穷维。}}：
:U(t,0)U^{\dagger}(t,0)=1=U^{\dagger}(t,0)U(t,0)。

假設系統的哈密頓量H不含時，則時間演化算符為{{noteTag|name=Hamiltonian1|1=在薛丁格繪景裏，假若哈密頓算符含時，H_{\mathcal{S}}=H_{\mathcal{S}}(t)，則時間演化算符會比較複雜。更詳盡內容，請查閱條目時間演化算符}}
: U(t, 0) = e^{-iHt/\hbar}，

而且，時間演化算符與哈密頓量相互對易：

:HU(t,0)=U(t,0)H。

注意到指數函數e^{-iHt/\hbar}必須通過其泰勒級數計算。

在海森堡繪景裏，態向量|\psi(t)\rang_{\mathcal{H}}、算符A_{\mathcal{H}}(t)分別定義為
:|\psi(t)\rang_{\mathcal{H}}\stackrel{def}{=}|\psi(0)\rang_{\mathcal{H}}=|\psi(0)\rang_{\mathcal{S}}、
:A_{\mathcal{H}}(t)\stackrel{def}{=}U^{\dagger}(t,0)A_{\mathcal{S}}U(t,0)。

由於U(t,0)、U^{\dagger}(t,0)對於時間的偏導數分別為
:\frac{\partial U(t,0)}{\partial t}={1 \over i\hbar }HU(t,0) 、
:\frac{\partial U^{\dagger}(t,0)}{\partial t}=-{1 \over i\hbar }U^{\dagger}(t,0)H 。

所以，算符A_{\mathcal{H}}(t)對於時間的導數是{{noteTag|name=TimeDependence2|1=假若算符A_{\mathcal{S}}含時：
:A_{\mathcal{S}}=A_{\mathcal{S}}(t)，

則算符A_{\mathcal{H}}(t)對於時間的導數是
:\begin{align} {d \over dt} A_{\mathcal{H}}(t) & =\frac{\partial U^{\dagger}(t,0)}{\partial t}A_{\mathcal{S}}U(t,0)+U^{\dagger}(t,0)A_{\mathcal{S}}\frac{\partial U(t,0)}{\partial t}+U^{\dagger}(t,0)\frac{\partial A_{\mathcal{S}}}{\partial t}U(t,0) \\
& ={1 \over i\hbar }[U^{\dagger}A_{\mathcal{S}}U,U^{\dagger}HU] +U^{\dagger}(t,0)\frac{\partial A_{\mathcal{S}}}{\partial t}U(t,0) \\
\end{align}。}}
:\begin{align} {d \over dt} A_{\mathcal{H}}(t) & =\frac{\partial U^{\dagger}(t,0)}{\partial t}A_{\mathcal{S}}U(t,0)+U^{\dagger}(t,0)A_{\mathcal{S}}\frac{\partial U(t,0)}{\partial t} \\
& = -{1 \over i\hbar } U^{\dagger}H A_{\mathcal{S}}U+{1 \over i\hbar }U^{\dagger}A_{\mathcal{S}}HU \\
& = -{1 \over i\hbar } U^{\dagger}HUU^{\dagger}A_{\mathcal{S}}U+{1 \over i\hbar }U^{\dagger}A_{\mathcal{S}}UU^{\dagger}HU \\
& ={1 \over i\hbar }[U^{\dagger}A_{\mathcal{S}}U,U^{\dagger}HU] \\
\end{align}。

由於不含時哈密頓量在海森堡繪景的形式與在薛丁格繪景相同，可以忽略下標：
:H_{\mathcal{H}}=U^{\dagger}H_{\mathcal{S}}U=H_{\mathcal{S}}=H。

將算符的定義式納入考量，就可以得到海森堡運動方程式：
:{d \over dt} A_{\mathcal{H}}(t)={1 \over i\hbar }[A_{\mathcal{H}}(t),H]。

期望值
在薛丁格繪景裏，可觀察量A的期望值為
:\lang A \rang_{\mathcal{S}}={}_{\mathcal{S}}\lang\psi(t)| A_{\mathcal{S}}|\psi(t)\rang_{\mathcal{S}}={}_{\mathcal{S}}\lang\psi(0)|U^{\dagger}(t,0)A_{\mathcal{S}}U(t,0) |\psi(0)\rang_{\mathcal{S}}。

在海森堡繪景裏，可觀察量A的期望值為
:\lang A \rang_{\mathcal{H}}={}_{\mathcal{H}}\lang\psi(t)| A_{\mathcal{H}}(t)|\psi(t)\rang_{\mathcal{H}}={}_{\mathcal{H}}\lang\psi(0)|A_{\mathcal{H}}(t)|\psi(0)\rang_{\mathcal{H}}。

注意到態向量|\psi(t)\rang_{\mathcal{H}}、算符A_{\mathcal{H}}(t)的定義式：
:|\psi(t)\rang_{\mathcal{H}}\stackrel{def}{=}|\psi(0)\rang_{\mathcal{H}}=|\psi(0)\rang_{\mathcal{S}}、
:A_{\mathcal{H}}(t)\stackrel{def}{=}U^{\dagger}(t,0)A_{\mathcal{S}}U(t,0)。

所以，這兩種期望值的表述方式等價。

貝克-豪斯多夫引理
算符A_{\mathcal{H}}(t)的定義式涉及到指數函數e^{-iHt/\hbar}，必須通過其泰勒級數計算，這是個很繁雜的過程，可以利用來計算
: {e^B A e^{-B}} = A + [B,A] + \frac{1}{2!} [B,[B,A]] + \frac{1}{3!}[B,[B,[B,A]]]+\cdots 。

對於算符A_{\mathcal{H}}(t)，可以得到
:A_{\mathcal{H}}(t)=A_{\mathcal{H}}(0)+\frac{it}{\hbar}[H,A_{\mathcal{H}}(0)] - \frac{t^{2}}{2!\hbar^{2}}[H,[H,A_{\mathcal{H}}(0)]]

• \frac{it^3}{3!\hbar^3}[H,[H,[H,A_{\mathcal{H}}(0)]]] + \cdots。

由於帕松括號與對易算符的關係，在哈密頓力學裏，這方程式也成立。

自由粒子範例
本節運算只涉及海森堡繪景，為了簡便起見，忽略下標\mathcal{H} 。設想自由粒子系統，其哈密頓量為
:H=\frac{p^{2}}{2m}。

動量p的海森堡運動方程式為
:{d \over dt} p(t)={1 \over i\hbar }[p,H]=0。

這是因為p與H對易。所以，動量p是個常數：
:p(t)=p(0)。

位置x的海森堡運動方程式為
:{d \over dt}x(t)={1 \over i\hbar }[x,H]=\frac{p}{m}。

所以，位置與時間的關係式為
:x(t)=x(0)+\frac{p(0)}{m}t。

換另一種方法，算符隨著時間流易而演化的方程式為
:x(t)= e^{iHt/\hbar}x(0) e^{-iHt/\hbar}。

利用，
:x(t)=x(0)+\frac{it}{\hbar}[H,x(0)] - \frac{t^{2}}{2!\hbar^{2}}[H,[H,x(0)]] - \frac{it^3}{3!\hbar^3}[H,[H,[H,x(0)]]] + \cdots。

注意到以下兩個對易關係式：
:[H,x(0)]=\frac{-i\hbar p(0)}{m}、
:[H,p(0)]=0。

將這兩個對易關係式代入，可以得到同樣的位置與時間的關係式：
:x(t)=x(0)+\frac{p(0)}{m}t。

注意到位置在不同時間的對易子不等於零：
:[x(t),x(0)]=\left[\frac{p(0)t}{m},x(0)\right]=\frac{-i\hbar t}{m}。

諧振子範例
本節運算只涉及海森堡繪景，為了簡便起見，忽略下標\mathcal{H} 。設想諧振子系統，其哈密頓量為
:H=\frac{p^{2}}{2m}+\frac{m\omega^2x^2}{2}；

其中，\omega為諧振子頻率。

動量算符p、位置算符x的海森堡運動方程式分別為
:{d \over dt}p(t)={1 \over i\hbar }[p(t),H]=-m\omega^2x(t)、
:{d \over dt}x(t)={1 \over i\hbar }[x(t),H]=\frac{p(t)}{m}。

再求這兩個方程式對於時間的導數，
:{d^2 \over dt^2} p(t) = {-m \omega^{2} \over i\hbar } [x(t),H]= - \omega^{2} p(t)、
:{d^2 \over dt^2} x(t) = {1 \over im\hbar } [p(t),H]= - \omega^{2} x(t)。

設定動量算符、位置算符的初始條件分別為
:p(0)=p_0、
:x(0)=x_0。

則在初始時間，
:\dot{p}(0)= - m\omega^{2} x_0、
:\dot{x}(0)=\frac{p_0}{m}。

所以，二次微分方程式的解答分別是
:p(t)=p_{0}\cos(\omega t) - m\omega\!x_{0}\sin(\omega t) 、
:x(t)=x_{0}\cos(\omega t)+\frac{p_{0}}{ m\omega}\sin(\omega t) 。

稍加運算，可以得到海森堡繪景裏的對易關係：
:[p(t_{1}), p(t_{2})]=i\hbar m\omega\sin(\omega t_{2} - \omega t_{1}) 、
:[x(t_{1}), x(t_{2})]=\frac{i\hbar}{m\omega}\sin(\omega t_{2} - \omega t_{1}) 、
:[x(t_{1}), p(t_{2})]=i\hbar \cos(\omega t_{2} - \omega t_{1}) 。

假若t_{1}=t_{2}，則立刻會得到熟悉的正則對易關係。

換另一種方法，算符隨著時間流易而演化的方程式為
:x(t)= e^{iHt/\hbar}x(0) e^{-iHt/\hbar}。

利用，
:x(t)=x(0)+\frac{it}{\hbar}[H,x(0)] - \frac{t^{2}}{2!\hbar^{2}}[H,[H,x(0)]] - \frac{it^3}{3!\hbar^3}[H,[H,[H,x(0)]]] + \cdots。

注意到以下兩個對易關係式：
:[H,x(0)]=\frac{-i\hbar p(0)}{m}、
:[H,p(0)]=i\hbar m\omega^2 x(0)。

將這兩個對易關係式代入，可以得到同樣的位置與時間的關係式：
:\begin{align} x(t) & =x(0)+\frac{p(0)}{m\omega}\omega t-x(0)\frac{\omega^2 t^2}{2!}-\frac{p(0)}{m\omega}\frac{\omega^3 t^3}{3!}+ \cdots \\
& = x(0)\cos(\omega t)+ \frac{p(0)}{m\omega}\sin(\omega t) \\
\end{align}。

類似地,也可以得到同樣的動量與時間的關係式。

各種繪景比較摘要
各種繪景隨著時間流易會呈現出不同的演化：

註釋
參考文獻
延伸阅读
*

參閱
*狄拉克標記