薛丁格繪景

薛丁格繪景（Schrödinger picture）是量子力學的一種表述，為紀念物理學者埃爾溫·薛丁格而命名。在薛丁格繪景裏，量子系統的態向量隨著時間流易而演化，而像位置、自旋一類的對應於可觀察量的算符則與時間無關。

薛丁格繪景與海森堡繪景、狄拉克繪景不同。在海森堡繪景裏，對應於可觀察量的算符會隨著時間流易而演化，而描述量子系統的態向量則與時間無關。在狄拉克繪景裏，態向量與算符都會隨著時間流易而演化。

這三種繪景殊途同歸，所獲得的結果完全一致。這是必然的，因為它們都是在表達同樣的物理現象。

在薛丁格繪景裏，負責時間演化的算符是一種么正算符，稱為時間演化算符。假設時間從t_0流易到t，而經過這段時間間隔，態向量|\psi(t_0)\rang演化為態向量|\psi(t)\rang，這時間演化過程以方程式表示為
:|\psi(t)\rang = U(t, t_0) |\psi(t_0)\rang；

其中，U(t, t_0)是時間演化算符。

假設系統的哈密頓量H不含時，則時間演化算符為
: U(t, t_0) = e^{-iH(t-t_0)/\hbar}；

其中，\hbar是約化普朗克常數，指數函數 e^{-iH(t-t_0)/\hbar}必須通過其泰勒級數計算。

在初級量子力學教科書裏，時常會使用薛丁格繪景。

時間演化算符
定義
時間演化算符U(t,\,t_0)定義為
: | \psi(t) \rang\ \stackrel{def}{=}\ U(t,\,t_0) | \psi(t_0) \rang ；

其中，右矢| \psi(t) \rang表示時間為t的態向量，U(t,\,t_0)是時間演化算符，從時間t演化到時間t_0。

這方程式可以做這樣解釋：將時間演化算符U(t,\,t_0)作用於時間是t_0的態向量| \psi(t_0) \rang，則會得到時間是t的態向量| \psi(t) \rang。

類似地，也可以用左矢 \langle \psi|來定義：
: \langle \psi(t) | = \langle \psi(t_0) |U^{\dagger}(t,\,t_0) ；

其中，算符U^{\dagger}是算符U的厄米共軛。

性質
幺正性
由於態向量必須滿足歸一條件，態向量的範數不能隨時間而變：
: \langle \psi(t)| \psi(t) \rang= \langle \psi(t_0) | \psi(t_0) \rang 。

可是，
: \langle \psi(t)| \psi(t) \rang = \langle \psi(t_0)|U^{\dagger}(t,\,t_0)U(t,\,t_0)| \psi(t_0) \rang。

所以，
: U^{\dagger}(t,\,t_0)U(t,\,t_0)=I ;

其中，I是單位算符。

單位性
時間演化算符U(t_0,\,t_0)必須是單位算符U(t_0,\,t_0)=I，因為，
: | \psi(t_0) \rang = U(t_0,\,t_0) | \psi(t_0) \rang 。

閉包性
從初始時間 t_0 到最後時間 t 的時間演化算符，可以視為從中途時間 t_1 到最後時間t的時間演化算符，乘以從初始時間 t_0 到中途時間t_1的時間演化算符：
:U(t,\,t_0) = U(t,\,t_1)U(t_1,\,t_0)。

根據時間演化算符的定義，
: | \psi(t_1) \rang = U(t_1,\,t_0) | \psi(t_0) \rang ，
: | \psi(t) \rang = U(t,\,t_1) | \psi(t_1) \rang 。

所以，
: | \psi(t) \rang = U(t,\,t_1)U(t_1,\,t_0) | \psi(t_0) \rang 。

可是，再根據定義，
: | \psi(t) \rang = U(t,\,t_0) | \psi(t_0) \rang 。

所以，時間演化算符必須滿足閉包性：
:U(t,\,t_0) = U(t,\,t_1)U(t_1,\,t_0)。

時間演化算符的微分方程式
為了方便起見，設定t_0=0，初始時間 t_0 永遠是0 ，則可忽略時間演化算符的t_0參數，改寫為U(t)。含時薛丁格方程式為
: i \hbar {\partial \over \partial t}| \psi (t) \rang = H| \psi (t)\rang ；

其中，H是哈密頓量。

從時間演化算符的定義式，可以得到
: i \hbar {\partial \over \partial t}U(t) | \psi (0) \rang = HU(t) | \psi (0) \rang 。

由於|\psi(0) \rang 可以是任意恆定態向量（處於 t=0的態向量），時間演化算符必須遵守方程式
: i \hbar {\partial \over \partial t}U(t) = HU(t) 。

假若哈密頓量不含時，則這方程式的解答為
: U(t) = e^{-iHt / \hbar} 。

注意到在時間 t=0，時間演化算符必須約化為單位算符U(0)=I。由於H是算符，指數函數 e^{-iHt}必須通過其泰勒級數計算：
: e^{-iHt / \hbar} = 1 - \frac{iHt}{\hbar} - \frac{1}{2}\left(\frac{Ht}{\hbar}\right)^2 + \cdots 。

按照時間演化算符的定義，在時間t，態向量為
:| \psi(t) \rang = e^{-iHt / \hbar} | \psi(0) \rang 。

注意到|\psi(0) \rang 可以是任意態向量。假設初始態向量|\psi(0) \rang 是哈密頓量的本徵態，而本徵值是E，則在時間t，態向量為
:| \psi(t) \rang = e^{-iEt / \hbar} | \psi(0) \rang 。

這樣，可以看到哈密頓量的本徵態是定態，隨著時間的流易，只有相位因子在進行演化。

假設，哈密頓量與時間有關，但在不同時間的哈密頓量相互對易，則時間演化算符可以寫為
: U(t) = \exp\left({-\frac{i}{\hbar} \int_0^t H(t')\, dt'}\right)。

假設，哈密頓量與時間有關，而在不同時間的哈密頓量不相互對易，則時間演化算符可以寫為
: U(t) =T \exp\left({-\frac{i}{\hbar} \int_0^t H(t')\, dt'}\right)；

其中，T是時間排序算符。

必須用來表示，
: U(t) =1+\sum^\infty_{n=1}\left(\frac{-i}{\hbar}\right)^n\int^t_0 dt_1\int^{t_1}_0 dt_2 \dots \int^{t_{n-1}}_0 dt_n H(t_1)H(t_2)\dots H(t_n) 。

各種繪景比較摘要
為了便利分析，位於下標的符號\mathcal{H} 、\mathcal{I} 、\mathcal{S}分別標記海森堡繪景、交互作用繪景、薛丁格繪景。

各種繪景隨著時間流易會呈現出不同的演化：

參閱
*哈密頓-亞可比方程式

參考文獻
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