在数学中， 一个流用数学方式形式化了“取决于时间的变化”的一般想法，这经常出现在工程学, 物理学和常微分方程的研究中。非正式地说，如果 x(t) 是某一系统的坐标连续表现为一个 t 的函数，那么x(t) 是一个流。更形式地说，流是单参数群在一个集合上的群作用。
向量流的概念，即由一个向量场确定的流，出现于微分拓扑、黎曼流形和李群诸多领域。向量流的特例包括测地流、哈密顿流、里奇流、平均曲率流以及 Anosov 流。
形式化定义
集合 X 上的一个流是 (\mathbb{R},+) 在 X 上的群作用。更准确地，流是一个函数 \varphi:X\times \mathbb{R}\rightarrow X，满足 \varphi(x,0) = x 且和单参数群保持一致：
:\varphi(\varphi(x,t),s) = \varphi(x,s+t)
对所有 s,t 属于 \mathbb{R} 和 x\in X 。
集合 \mathcal{O}(x,\varphi) = \{\varphi(x,t):t\in\mathbb{R}\} 称为x 在\varphi 作用下的轨道。
当空间 X 有额外的结构（比如 X 是一个拓扑空间或 X = \mathbb{R}^n.）时，流经常要求连续甚至可微。
在许多领域，包括在工程学、物理和常微分方程研究中一般用一个记号明确的表明流。从而
:x(t)
写成 \phi(x,t)，这样我们可以说“变量 x 取决于时间 t”。事实上，在记号上，有严格的等价关系：x(t)\equiv\phi(x,t)。类似地
:x_0=x(0)
写成 x=\phi(x,0)，等等。
例子
流最常见的例子是描述自治常微分方程的解，当方程的解存在且惟一时
: y' = f(y),\;\;\; y(0)=x
可作为初始条件 x 的函数。这就是，如果以上方程有惟一的解 \psi_x:\mathbb{R}\rightarrow X 对任何 x\in X，那么\varphi(x,t) = \psi_x(t) 定义了一个流。
参考文献
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