−1

在數學中，負一寫作 ，是 的加法逆元，即當 加上 之後就變為 。 是介於 與 0 之間的整數，亦是最大的負整數。

負一與歐拉恆等式相關聯，此恆等式表示為。

在軟體開發中，用來表示變量包含無用的信息，亦能作為函數錯誤時的傳回值。

在编程语言中，取决于第一个元素是用 0 还是 1 表示， 可以用来索引数组的最后一个元素，或者倒数第二个元素。

和 有许多相似但略有不同的特性。

代數性質
將一數字乘上-1的動作，等價於將此數值變號。藉由分配律，以及1是乘法運算的單位元之公理，對於實數x，我們得到

:x+(-1)\cdot x=1\cdot x+(-1)\cdot x=(1+(-1))\cdot x=0 \cdot x=0

這裡我們使用了「任意實數x乘上0等於0」，將x從等式中約掉。

:0\cdot x=(0+0)\cdot x=0\cdot x+0\cdot x \,

或直角坐標系上的0, 1, −1, i, 和 −i]]

也就是，

:x+(-1)\cdot x=0 \,

故(−1) · x是 x的相反數。

負一平方
−1的平方亦即−1乘於−1，等於1。意即，兩負實數相乘為一正實數。

代數證明此結果

:0 =-1\cdot 0 =-1\cdot [1+(-1)]

第一個等式取自上一段落的結果。第二個等式是根據「−1是1的加法逆元」。
再使用分配律，我們得到

:0 =-1\cdot [1+(-1)]=-1\cdot1+(-1)\cdot(-1)=-1+(-1)\cdot(-1)

第三個等式依據是：1是乘法運算的單位元。然後在等式前後加上1

:(-1) \cdot (-1) = 1

以上運算適用於任意環。

負一的平方根
複數i滿足，也可視為-1的平方根。另一个能滿足x2 = −1的複數x是−i。四元數的代數包含複數平面，等式x2 = −1擁有無限多組解。

負一的乘冪
我們定義x^{-1} = \frac {1}{x}，即代數x的−1次方，或代數x的倒數。可將此定義結合指數定律x^a\cdot x^b= x^{a+b} \ a,b\in \R 。
負數整數形式的指數可以拓展到環的逆元素，定義x^{-1}作為x的乘法逆元。

函式或矩陣右上的-1不是指數，而是反函數與反矩陣。例如：f^{-1}(x)是f(x)的反函數，\sin^{-1}(x)是反正弦函數。

负一的对数
包括-1在内的所有负数在实数域中是没有对数的，但在复数域，根据欧拉恒等式，可以得出-1的自然对数\ln {(-1)}=i\pi。

維數
空集的歸納維數被定義為-1。在中，空多胞形的維數亦被定義為-1。

計算機的表示法
大多數計算機系統使用二補數來表示負整數。此系統中，所有位元皆為一以表示-1，若以8-bit有符號整數表示，即為二进制的"11111111"，或十六進位制的"FF"。若將-1解讀為n位無符號整數，n個1將表示為2n − 1，且較有符号整數系統能容納更大數值。例如，8-bit的"11111111"表示為。

在Setun計算機中 -1以倒轉的阿拉伯數字一「」表示。

參見條目

• 1：-1的相反數
• 数表

參考文獻