等价类

在数学中，假設在一个集合X上定義一个等价关系（用 \sim來表示），则X中的某個元素a的等价类就是在X中等价于a的所有元素所形成的子集:
:[a] = \{ x \in X | x \sim a \}。

等价类的概念有助于从已经构造了的集合构造新集合。在X中的给定等价关系 \sim的所有等价类的集合表示为X / \mathrm{\sim}并叫做X除以\sim的商集。这种运算可以（实际上非常不正式的）被认为是输入集合除以等价关系的活动，所以名字“商”和这种记法都是模仿的除法。商集类似于除法的一个方面是，如果X是有限的并且等价类都是等势的，则X / \mathrm{\sim}的序是X的序除以一个等价类的序的商。商集被认为是带有所有等价点都识别出来的集合X。

对于任何等价关系，都有从X到X / \mathrm{\sim}的一个规范投影映射\pi，给出为\pi(x) = [x]。这个映射总是满射的。在X有某种额外结构的情况下，考虑保持这个结构的等价关系，接着称这个结构是良好定义的，而商集在自然方式下继承了这个结构而成为同一个范畴的对象；从a到[a]的映射则是在这个范畴内的满态射。参见同余关系。

例子

• 如果X是轿车的集合，而\sim 是“颜色相同”的等价类，则一个特定等价类由所有绿色轿车组成。X / \mathrm{\sim} 自然的被认同于所有轿车颜色的集合。
• 考虑在整数集合\mathbb{Z}上的“模2” ﹝見同餘﹞等价关系: x \sim y当且仅当x - y是偶数。这个关系精确的引发两个等价类: [0]由所有偶数组成，[1]由所有奇数组成。在这个关系下[7],[9]和[1]都表示\mathbb{Z} / \mathrm{\sim}的同一个元素。
• 有理数可以构造为整数的有序对 (a, b)的等价类的集合，b不能为零，这里的等价关系定义为

:: (a, b) \sim (c, d)当且仅当ad = bc。
: 这里的有序对 (a, b)的等价类可以被认同于有理数a/b。

• 任何函数f: X \rightarrow Y定义在X上的等价关系，通过x_{1} \sim x_{2} 当且仅当f(x_{1}) = f(x_{2})。x的等价类是在X中被映射到f(x)的所有元素的集合，就是说，类[x]是f(x)的逆像。这个等价关系叫做f的核。
• 给定群G和子群H，我们可以定义在G上的等价关系，通过x \sim y当且仅当xy^{-1} \in H。这个等价类叫做H在G中的右陪集；其中之一是H自身。它们都有同样数目的元素（在无限H的情况下是势）。如果H是正规子群，则所有陪集的集合自身是在自然方式下的一个群。
• 所有群都可以划分成叫做共轭类的等价类。
• 连续映射f的同伦类是所有同伦于f的所有映射的等价类。
• 在自然语言处理中，等价类是对一个个人、位置、事物或事件的所有提及的要么真实要么虚构的集合。例如，在句子“"GE股东将投票公司杰出的CEO Jack Welch的继任者”。“GE”和“公司”是同义的，所以构成一个等价类。对“GE股东”和“Jack Welch”有单独的等价类。

性质
因为等价关系的a在[a]中和任何两个等价类要么相等要么不相交的性质。得出X的所有等价类的集合形成X的划分：所有X的元素属于一且唯一的等价类。反过来，X的所有划分也定义了在X上等价关系。

它还得出等价关系的性质
:a \sim b当且仅当[a] = [b]。

如果\sim是在X上的等价关系，而P(x)是x的元素的一个性质，使得只要x \sim y, P(x)为真如果P(y)为真，则性质P被称为良好定义的或在关系\sim下“类恒定”的。常见特殊情况出现在f是从X到另一个集合Y的时候；如果x_{1} \sim x_{2}蕴涵f(x_{1}) = f(x_{2})则f被称为在\sim下恒定的类，或简单称为在\sim下恒定。这出现在有限群的特征理论中。对函数f的后者情况可以被表达为交换三角关系．参见不變量。

参见

• 等价关系