粘性解

数学中，粘性解是20世纪80年代早期由皮埃爾-路易·利翁和Michael G. Crandall作为对偏微分方程（PDE）经典解的扩展而引入的。粘性解在PDE的许多应用中作为解是非常自然的，例如优化控制中的一阶偏微分方程（哈密顿-雅可比-贝尔曼方程），微分对策中（Hamilton–Jacobi–Isaacs equation），前端演化问题（front evolution problem），还有二阶方程，例如在随机优化控制或随机微分博弈（stochastic differential game）中出现的。

经典的概念是在域x\in\Omega中PDE
: H(x,u,Du) = 0
有解，如果能找到在整个域上连续且可微的函数u(x)，使得x, u和Du（u的微分）在每个点都满足上面的等式。

在粘性解的意义下，u不需要在每个点都可微。可能在有些点上Du不存在，即u中存在扭结（kink）但u在适当意义下满足等式。虽然在某个点上Du可能不存在，但可以使用下面定义的上微分（superdifferential）D^+ u和下微分（subdifferential）D^-u代替。

定义1. D^+ u(x_0) = \left\{ p: \limsup_{x_1\rightarrow x_0} \frac{u(x_1)-u(x_0)-p (x_1-x_0)}\le 0 \right\}

定义2. D^- u(x_0) = \left\{ p: \liminf_{x_1\rightarrow x_0} \frac{u(x_1)-u(x_0)-p (x_1-x_0)}\ge 0 \right\}

一般地，集合\,D^+u\,中的每个\,p\,是\,u\,在\,x_0\,"斜率"（slope）的一个上界，集合\,D^-u\,中每个\,p\,是\,u\,在\,x_0\,"斜率"（slope）的一个下界。

定义3. 连续函数u是上面PDE的一个粘性下解（viscosity subsolution），如果满足
:H(x,u(x),p)\le 0, \forall x \in \Omega, \forall p \in D^+ u(x)

定义4. 连续函数u是上面PDE的一个粘性上解（viscosity supersolution），如果满足
:H(x,u(x),p)\ge 0, \forall x \in \Omega, \forall p \in D^- u(x)。

定义5.连续函数u是PDE的一个粘性解如果它既是粘性上解又是粘性下解。

粘性解存在不需引入上（下）微分概念的等价定义，见Fleming与Soner书中的第II.4节。

参考文献