對勾函数

在数学中，对勾函数，又名双勾函数、耐克函数、对号函数，表示形为f(x)=ax+\frac{b}{x}的函数，其中ab\ge 0。函数定义域为(-\infty,0)\cup(0,+\infty)，值域为(-\infty,-2\sqrt{ab} ] \cup [ 2\sqrt{ab},\infty)。其图像是分别以y轴和y=ax为渐近线的两支双曲线。当a\ge 0,b\ge 0时，其图像在第一象限形状就是个像耐克的品牌徽标一样，因此得名耐克函数。

图像
以下是對勾函数f(x)=x+\frac{1}{x}的图像

函数单调性
*a、b同正，在\left(-\infty,-\sqrt{\frac{b}{a}}\right]单调递增，在\left[-\sqrt{\frac{b}{a}},0\right)单调递减，在\left(0,\sqrt{\frac{b}{a}}\right]单调递减，在\left[\sqrt{\frac{b}{a}},+\infty\right)单调递增。
*a、b同负，在\left(-\infty,-\sqrt{\frac{b}{a}}\right]单调递减，在\left[-\sqrt{\frac{b}{a}},0\right)单调递增，在\left(0,\sqrt{\frac{b}{a}}\right]单调递增，在\left[\sqrt{\frac{b}{a}},+\infty\right)单调递减。
函数单调性的证明
对f(x)=x+{\frac{a}{x}}(a>0)，任取0，则有
\begin{cases}
x_1-x_20\\
0

\therefore f(x_1)-f(x_2)=x_1+{\frac{a}{x_1}}-x_2-{\frac{a}{x_2}}={\frac{(x_1-x_2)(x_1{\cdot}x_2-a)}{x_1{\cdot}x_2}}>0，即f(x_1)>f(x_2)

\therefore f(x)在(0,\sqrt{a}]上单调递减。同理，f(x)在[\sqrt{a},+\infty)上单调递增；在(-\infty,-\sqrt{a}]上单调递增；在\left[-\sqrt{a},0\right)上单调递减。