在量子力學裏，一個粒子因為自旋與軌道運動而產生的作用，稱為自旋-軌道作用（），也稱作自旋-軌道效應或自旋-軌道耦合。最著名的例子是電子能級的位移。電子移動經過原子核的電場時，會產生電磁作用．電子的自旋與這電磁作用的耦合，形成了自旋-軌道作用。譜線分裂實驗明顯地偵測到電子能級的位移，證實了自旋-軌道作用理論的正確性。另外一個類似的例子是原子核殼層模型能級的位移。
半導體或其它新穎材料常常會涉及電子的自旋-軌道效應。自旋電子學專門研究與應用這方面的問題。
電子的自旋-軌道作用
在這篇文章裏，會以相當簡單與公式化的方式，詳細地講解一個束縛於原子內的電子的自旋-軌道作用理論。這會用到電磁學、非相對論性量子力學、一階微擾理論。這自旋-軌道作用理論給出的答案，雖然與實驗結果並不完全相同，但相當的符合。更嚴謹的導引應該從狄拉克方程式開始，也會求得相同的答案。若想得到更準確的答案，則必須用量子電動力學來計算微小的修正。這兩種方法都在本條目範圍之外。
磁場
雖然在原子核的靜止參考系 () ，並沒有作用在電子上的磁場；在電子的靜止參考系，有作用在電子上的磁場存在。暫時假設電子的靜止參考系為慣性參考系，則根據狹義相對論，磁場 \mathbf{B}\,\! 是
:\mathbf{B} = - \,\frac{\mathbf{v} \times \mathbf{E}}{c^2}\,\! ；(1)
其中，\mathbf{v}\,\! 是電子的速度，\mathbf{E}\,\! 是電子運動經過的電場，c\,\! 是光速。
以質子的位置為原點，則從質子產生的電場是
:\mathbf{E}=\frac{Ze}{4\pi\epsilon_0 r^2}\hat{\mathbf{r}} =\frac{Ze}{4\pi\epsilon_0 r^3}\mathbf{r} \,\! ；
其中，Z\,\! 是質子數量（原子序數），e\,\! 是單位電荷量，\epsilon_0\,\! 是真空電容率，\hat{r}\,\! 是徑向單位向量，r\,\! 是徑向距離，徑向向量 \mathbf{r}\,\! 是電子的位置。
電子的動量 \mathbf{p}\,\! 是
:\mathbf{p}=m\mathbf{v}\,\! ；
其中，m\,\! 是電子的質量。
所以，作用於電子的磁場是
:\mathbf{B} = \frac{Ze}{4\pi\epsilon_0 m c^2 r^3}\,\mathbf{r}\times\mathbf{p}= \frac{Ze}{4\pi\epsilon_0 m c^2 r^3}\,\mathbf{L}\,\! ；(2)
其中，\mathbf{L}\,\! 是角動量，\mathbf{L}=\mathbf{r}\times\mathbf{p}\,\! 。
\mathbf{B}\,\! 是一個正值因子乘以 \mathbf{L}\,\! ，也就是說，磁場與電子的軌道角動量平行。
磁矩
電子自旋的磁矩 \boldsymbol{\mu}\,\! 是
:\boldsymbol{\mu} = \gamma\,\mathbf{S}\,\! ；
其中，\gamma=\frac{g_s q_e}{2m}\,\! 是旋磁比 () ，\mathbf{S}\,\! 是自旋角动量，g_s\,\! 是朗德g因子，q_e\,\! 是電荷量。
電子的朗德g因子（g-factor）是 2\,\! ，電荷量是 - e\,\! 。所以，
:\boldsymbol{\mu} = - \frac{e}{m}\mathbf{S}\,\! 。(3)
電子的磁矩與自旋反平行。
哈密頓量微擾項目
自旋-軌道作用的哈密頓量微擾項目是
:H'= - \boldsymbol{\mu}\cdot\mathbf{B}\,\! 。
代入 \boldsymbol{\mu}\,\! 的公式 (3) 和 \mathbf{B}\,\! 的公式(2)，經過一番運算，可以得到
:H'=\frac{Ze^2}{4\pi\epsilon_0 m^2 c^2}\ \frac{\mathbf{L}\cdot\mathbf{S}}{r^3}\,\!
一直到現在，都還沒有考慮到電子靜止坐標乃非慣性坐標。這事實引發的效應稱為托馬斯進動 () 。因為這效應，必須添加因子 1/2\,\! 在公式裏。所以，
:H'=\frac{Ze^2}{8\pi\epsilon_0 m^2 c^2}\ \frac{\mathbf{L}\cdot\mathbf{S}}{r^3}\,\! 。
能級位移
在準備好了自旋-軌道作用的哈密頓量微擾項目以後，現在可以估算這項目會造成的能量位移。特別地，想要找到 H_0\,\! 的本徵函數形成的基底，使 H'\,\! 能夠對角化。為了找到這基底，先定義總角動量算符 \mathbf{J}\,\! ：
:\mathbf{J}=\mathbf{L}+\mathbf{S}\,\! 。
總角動量算符與自己的內積是
:\mathbf J^2=\mathbf L^2+\mathbf S^2+2\mathbf{L}\cdot \mathbf{S}\,\! 。
所以，
:\mathbf{L}\cdot\mathbf{S}= {1\over 2}(\mathbf{J}^2 - \mathbf{L}^2 - \mathbf{S}^2)\,\! 。
請注意 H'\,\! 與 \mathbf{L}\,\! 互相不對易， H'\,\! 與 \mathbf{S}\,\! 互相不對易。讀者可以很容易地證明這兩個事實。由於這兩個事實，H_0\,\! 與 \mathbf{L}\,\! 的共同本徵函數不能被當做零微擾波函數，用來計算一階能量位移 E^{(1)}\,\! 。H_0\,\! 與 \mathbf{S}\,\! 的共同本徵函數也不能被當做零微擾波函數，用來計算一階能量位移 E^{(1)}\,\! 。可是， H'\,\! 、J^2\,\! 、L^2\,\! 、S^2\,\! ，這四個算符都互相對易。H_0\,\! 、J^2\,\! 、L^2\,\! 、S^2\,\! ，這四個算符也都互相對易。所以，H_0\,\! 、J^2\,\! 、L^2\,\! 、S^2\,\! ，這四個算符的共同本徵函數 |n,j,l,s\rangle\,\! 可以被當做零微擾波函數，用來計算一階能量位移 E_n^{(1)}\,\! ；其中， n\,\! 是主量子數，j\,\! 是總角量子數，l\,\! 是角量子數，s\,\! 是自旋量子數。這一組本徵函數所形成的基底，就是想要尋找的基底。這共同本徵函數 |n,j,l,s\rangle\,\! 的 \mathbf{L}\cdot\mathbf{S}\,\! 的期望值是
:\begin{align} \langle n,j,l,s\,|\,\mathbf{L}\cdot\mathbf{S} \,|\,n,j,l,s\rangle & ={1\over 2}(\langle\mathbf{J}^2\rangle - \langle\mathbf{L}^2\rangle - \langle\mathbf{S}^2\rangle) \\
& ={\hbar^2\over 2}[j(j+1) - l(l+1) - s(s+1)] \\
& ={\hbar^2\over 2}[j(j+1) - l(l+1) - 3/4] \\
\end{align}\,\!；
其中，電子的自旋 s=1/2\,\! 。
經過一番繁瑣的運算，可以得到 r^{ - 3}\,\! 的期望值
:\langle n,j,l,s\,|\, r^{ - 3}\, |\,n,j,l,s\rangle=\frac{2Z^3}{a_0^3 n^3 l(l+1)(2l+1)}\,\! ；
其中，a_0=\frac{4\pi\epsilon_0\hbar^2}{m e^2}\,\! 是波耳半徑。
將這兩個期望值的公式代入，能級位移是
:E_n^{(1)}=\frac{Z^4 e^2 \hbar^2}{8\pi\epsilon_0 m^2 c^2 a_0^3}\
\frac{[j(j+1) - l(l+1) - 3/4]}{n^3\, l(l+1)(2l+1)}\,\! 。
經過一番運算，可以得到
:E_n^{(1)}=\frac{(E_n^{(0)})^2}{mc^2}\ \frac{2n[j(j+1) - l(l+1) - 3/4]}{l(l+1)(2l+1)}\,\! ；
其中，E_n^{(0)}=\frac{Z^2 \hbar^2}{2m a_0^2 n^2}\,\! 是主量子數為 n\,\! 的零微擾能級。
特別注意，當 l=0\,\! 時，這方程式會遇到除以零的不可定義運算；雖然分子項目 j(j+1) - l(l+1) - 3/4=0\,\! 也等於零。零除以零，仍舊無法計算這方程式的值。很幸運地，在精細結構能量微擾的計算裏，這不可定義問題自動地會消失。事實上，當 l=0\,\! 時，電子的軌道運動是球對稱的。這可以從電子的波函數的角部分觀察出來，l=0\,\! 球諧函數是
:Y_0^0=\frac{1}{\sqrt{4\pi}}\,\! ，
由於完全跟角度無關，角動量也是零，電子並不會感覺到任何磁場，所以，電子的 l=0\,\! 軌道沒有自旋-軌道作用。
參閱
*斯塔克效應
*塞曼效應
*超精細結構
*蘭姆位移
參考文獻
*
外部連結
*圣地牙哥加州大学物理系量子力学視聽教學： [https://web.archive.org/web/20100624231316/http://physicsstream.ucsd.edu/courses/fall2003/physics130b/movies/2003-10-24_full.mov 自旋-軌道作用]
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