沿纤维积分指在微分几何中，对于一个 k-形式 沿着它的纤维作积分。这个运算产生一个 (k-m)-形式，其中m是通过“积分”的纤维的维度。又称纤维积分。
定义
让\pi: E \to B是一个流形上具有紧凑取向纤维的的纤维丛。如果 \alpha 是 E 上的 k-形式，那么对于 b 处的切向量 ωi ，令
: (\pi_* \alpha)_b(w_1, \dots, w_{k-m}) = \int_{\pi^{-1}(b)} \beta
这里 \beta 是纤维上诱导的顶部形式\pi^{-1}(b) ；即 m-形式 由以下给出：\widetilde{w_i} 作为 w_i 到 E 的提升，
: \beta(v_1, \dots, v_m) = \alpha(v_1, \dots, v_m, \widetilde{w_1}, \dots, \widetilde{w_{k-m}}).
（为了明白 b \mapsto (\pi_* \alpha)_b 是平滑的，请用坐标把它计算出来；参见下面的例子。）
那么 \pi_*是一个线性映射\Omega^k(E) \to \Omega^{k-m}(B) 。根据斯托克斯公式，如果纤维没有边界（即[d,\int]=0 ），映射下降到 德拉姆上同调：
: \pi_*: \operatorname{H}^k(E; \mathbb{R}) \to \operatorname{H}^{k-m}(B; \mathbb{R}).
这也被称为纤维积分。
现在假设\pi为球丛，即典型的纤维为球体。那么有一个正合序列 0 \to K \to \Omega^(E) \overset{\pi_}\to \Omega^(B) \to 0 ， K 是*核，这会导致一个长正合序列，从而丢弃系数 \mathbb{R} 并使用 \operatorname{H}^k(B) \simeq \operatorname{H}^{k+m}(K) ：
: \cdots \rightarrow \operatorname{H}^k(B) \overset{\delta}\to \operatorname{H}^{k+m+1}(B) \overset{\pi^} \rightarrow \operatorname{H}^{k+m+1}(E) \overset{\pi_} \rightarrow \operatorname{H}^{k+1}(B) \rightarrow \cdots ，
称为Gysin序列。
例子
让\pi: M \times [0, 1] \to M 是一个明显的投影。首先假设M = \mathbb{R}^n 有坐标 x_j 并考虑一个 k-形式：
: \alpha = f \, dx_{i_1} \wedge \dots \wedge dx_{i_k} + g \, dt \wedge dx_{j_1} \wedge \dots \wedge dx_{j_{k-1}}.
那么在 M 中的每个点，
: \pi_(\alpha) = \pi_(g \, dt \wedge dx_{j_1} \wedge \dots \wedge dx_{j_{k-1}}) = \left( \int_0^1 g(\cdot, t) \, dt \right) \, {dx_{j_1} \wedge \dots \wedge dx_{j_{k-1}}}.
从这个局部计算中，很容易得出下一个公式（参见庞加莱引理#直接证明）：如果\alpha是 M \times [0, 1] 上的任何k -形式 ，
: \pi_(d \alpha) = \alpha_1 - \alpha_0 - d \pi_(\alpha)
此处 \alpha_i 是把 \alpha 限制到M \times \{i\} 的约束。
作为此公式的应用，让 f: M \times [0, 1] \to N 是一个光滑映射（被认为是同伦）。然后构图h = \pi_ \circ f^是同伦算子（也称为链同伦）：
: d \circ h + h \circ d = f_1^ - f_0^: \Omega^k(N) \to \Omega^k(M),
这意味着f_1, f_0在同调上诱导出同源映射，这一事实被称为德拉姆上同调的同伦不变性。作为推论，例如，设 U 是R n中的一个开球，中心在原点，设f_t: U \to U, x \mapsto tx 。然后\operatorname{H}^k(U; \mathbb{R}) = \operatorname{H}^k(pt; \mathbb{R}) ，这一事实被称为庞加莱引理。
投影公式
给定一个在流形上的向量束 π: E → B ，如果限制\alpha|_{\pi^{-1}(b)}对于B 中的每个 b 都有紧支持，我们称E上的微分形式 α 具有垂直紧支撑。我们用 \Omega_{vc}^(E) 标记在 E 上具有垂直紧支撑的微分形式向量空间。如果 E* 以向量束的形式定向，与前面完全一样，我们可以定义沿纤维的积分：
: \pi_: \Omega_{vc}^(E) \to \Omega^*(B).
以下称为投影公式。 令 \alpha \cdot \beta = \alpha \wedge \pi^ \beta，我们让 \Omega_{vc}^(E) 成为一个正确的 \Omega^*(B)-模块
证明：1. 由于该断言是局部的，我们可以假设π是平凡的：即 \pi: E = B \times \mathbb{R}^n \to B是一个投影。让t_j是纤维上的坐标。如果\alpha = g \, dt_1 \wedge \cdots \wedge dt_n \wedge \pi^ \eta, 那么，因为\pi^是环同态，
: \pi_(\alpha \wedge \pi^ \beta) = \left( \int_{\mathbb{R}^n} g(\cdot, t_1, \dots, t_n) dt_1 \dots dt_n \right) \eta \wedge \beta = \pi_*(\alpha) \wedge \beta.
类似地，若α不包含dt ，则两边都为零。 2. 的证明类似 1.。 \square
参见
- 海侵地图
笔记
参考
- Michele Audin ，辛流形上的环面作用，Birkhauser，2004
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