在數論中，算數數列中的質數的研究範圍包括任何包含至少三個在等差數列中彼此相鄰的質數的數列。一個這樣的序列的例子是(3, 7, 11)，而這序列可由a_n = 3 + 4n在0 \le n \le 2時給出。
根據格林-陶定理，在質數構成的數列中，存在的等差數列。
有時這概念也可用以指涉同時包含合數的等差數列中出現的質數，像例如說，這概念也可用以指稱有著an + b這樣形式且a與b互質的等差數列；而根據狄利克雷定理，這樣的數列包含無限多的質數，也包含無限多的合數。
對於大於3的正整數k而言，AP-k（又作PAP-k）指的是任意等差數列中任意k個彼此相鄰的質數。一個AP-k可寫成an + b這樣變數n為k個連續數值的形式，其中a（公差）與b是固定數。一般以n=0至k來表達一個AP-k，這總可藉由將b給定義成算術數列中的第一個質數達成。
在本文中，以q\#=2\times3\times5\times7\times\cdots\times q代表對於質數q的質數階乘，以x\#=2\times3\times5\times7\times\cdots\times q代表對於所有不大於x的質數（其中q是不大於x的最大質數）的質數階乘。
性質
任何由質數構成的等差數列，其長度皆有限。在2004年，和陶哲軒藉由證明格林-陶定理解決了一個懸宕多年的舊猜想，也就是質數集合中包含任意長度等差數列的猜想。由此可立即推得說，對於任意k而言，都存在有無限多個AP-k。
假若一個AP-k不以質數k起始，那其公差就是形如k\#=2\times3\times5\cdots\times j這樣的質數階乘，其中j不大於k的質數中最大的質數。
:證明：設要證明的AP-k的形式為an + b，其中n是變數，其數值為k個連續正整數。若a不能為質數p除盡，那根據模算數，在這等差序列中，每隔p項就會有一項被p除盡。因此若AP對於連續k個值都是質數，那麼a就必然為所有不大於k的質數p \le k所除盡。
這也顯示了一個包含公差a的AP，其連續的質數項的數量，不能超過最小且不能除盡a的質數的值。
若k是一個質數，那麼AP-k就可以k起始並包含大小僅為而(k-1)\#非k\#的公差。像例如包含(3, 5, 7)這三項的AP-3，其公差為2\#=2；而包含(5, 11, 17, 23, 29)這五項的AP-5，其公差為4\#=6。目前有猜想認為，對所有為質數的k，都有如此的例子。截至為止，已確認有此性質的最大質數是k=19，而相關的AP-19如下，由Wojciech Iżykowski於2013年發現：
:19 + 4244193265542951705\cdot 17\#\cdot n，其中n的值為0到18。
AP中最大已知的質數
為止，已知最長的AP-k是AP-27，同時也已知數個AP-26的例子。這些數列的第一個是由Benoît Perichon在2010年4月12日以一台PlayStation 3發現的，他用的軟體由Jarosław Wróblewski及Geoff Reynolds所開發、由Bryan Little轉平台到PlayStation 3上，並作為計畫的一部分發布。以下是他發現的質數序列：並交由全球各地的32跟64位元CPA、Nvidia CUDA GPU以及Cell微處理器等進行搜尋。
在此之前，已知最長的數列是由Raanan Chermoni和Jarosław Wróblewski在2008年5月17日發現的一個AP-25：
更早以前的紀錄，是一個由在2007年1月18日由Jarosław Wróblewski獨自發現的AP-24：
:468395662504823 + 205619\cdot23\#\cdot n，其中n的值為0到23。
對此Wróblewski回報說他用了75台電腦，其中15台裝載64位元的Athlon中央處理器，15台裝載64位元的Pentium D 805中央處理器；30台裝載32位元的Athlon 2500中央處理器，以及15台裝載Duron 900中央處理器。
下表顯示了歷來最大已知的AP-k及其發現年分和末項質數的數字位數。
應當注意的是，最大已知的AP-k可能會以已知的AP-(k+1)結尾。
一些記錄創造者首先先計算大量形如c\cdot p\# + 1且p固定的質數然後再開始對不同的c尋找能生出質數的AP。這反映在一些紀錄的表現形式中，而這些紀錄可輕易地重寫成a\cdot n+b的形式。
等差數列中的相鄰質數
等差數列中的相鄰質數（Consecutive primes in arithmetic progression）一般涉及的是三個彼此相鄰，在等差數列中也彼此為相鄰項的質數。和AP-k不同的是，在此所有其他相鄰質數中間的所有其他的、那些不在等差數列中的數，都必須是合成數。像是(3, 7, 11)這個AP-3數列就不合定義，因為5也是質數。
對於大於3的正整數k而言，CPAP-k指的是等差數列中k個彼此在等差數列外也相鄰的質數。目前有猜想認為存在有任意長度的CPAP，也就是說，對於任意的k都有無限多個CPAP-k。CPAP-3的中間項又稱為平衡質數，為止，已知最大的平衡質數有15004位數。
第一個已知的CPAP-10在1998年由Manfred Toplic在參與分布式計算計畫CP10時發現，而CP10這項分布式計算計畫是由Harvey Dubner、Tony Forbes、Nik Lygeros、Michel Mizony和Paul Zimmermann等人組織發起的。這個CP10有著最小可能的公差7\#=210；而為止，只有另一個CPAP-10是已知的，且是由同一人在2008年發現的。
若CPAP-11存在，則其公差必然為11\#=2310的倍數，也因此其中第一項和最後一項質數的差會是23100的倍數，這代表在這11個質數之間，至少會有23090個合成數，因此要找到CPAP-11會是極為困難的。Dubner和Zimmermann估計說，找到CPAP-11的難度，至少會是找到CPAP-10的10^{12}倍。
AP中最小的相鄰質數
目前只知道當k \le 6時，相應的CPAP-k的首次出現處。
AP中已知最大的相鄰質數
此表顯示等差數列中已知最大的k個相鄰質數，分別從k=3到k=10。
x_d指的是一個在上述紀錄用以保證在不尋常多地、依條件要求的合成數中都會有小因數的d位數字。
- x_{106} = 115376 22283279672627497420 78637565852209646810 56709682233916942487 50925234318597647097 08315833909447378791
- x_{153} = 9656383640115 03965472274037609810 69585305769447451085 87635040605371157826 98320398681243637298 57205796522034199218 09817841129732061363 55565433981118807417 = x_{253} % 379\#
- x_{253} = 1617599298905 320471304802538356587398499979 836255156671030473751281181199 911312259550734373874520536148 519300924327947507674746679858 816780182478724431966587843672 408773388445788142740274329621 811879827349575247851843514012 399313201211101277175684636727
參見
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*塞邁雷迪定理
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出處
參考資料
Chris Caldwell, [http://primes.utm.edu/glossary/page.php?sort=ArithmeticSequence The Prime Glossary: arithmetic sequence], [http://primes.utm.edu/top20/page.php?id=14 The Top Twenty: Arithmetic Progressions of Primes] and [http://primes.utm.edu/top20/page.php?id=13 The Top Twenty: Consecutive Primes in Arithmetic Progression*], all from the Prime Pages.
*
Jarosław Wróblewski, [http://www.math.uni.wroc.pl/~jwr/AP26/AP26v3.pdf How to search for 26 primes in arithmetic progression?*]
*P. Erdős and P. Turán, On some sequences of integers, J. London Math. Soc. 11 (1936), 261–264.
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