哈代-李特爾伍德第一猜想

在數論中，哈代-李特爾伍德第一猜想（first Hardy–Littlewood conjecture）指的是對小於給定數的的漸近公式，這猜想是對質數定理的推廣。這猜想最初由G·H·哈代和約翰·恩瑟·李特爾伍德在1923年提出。

陳述
設m_1, m_2, \ldots, m_k 為一組使得P = (p, p + m_1, p + m_2, \ldots , p + m_k)不對任何質數構成一個完全剩餘系的正整數，並以\pi_{P}(n)表示不大於n並使得p + m_1, p + m_2, \ldots , p + m_k皆為質數的質數p的數量，那麼有：
:\pi_P(n)\sim C_P\int_2^n \frac{dt}{\log^{k+1}t},
其中
:C_P=2^k \prod_{q \text{ prime,} \atop q \ge 3}\frac{1-\frac{w(q; m_1, m_2, \ldots , m_k)}q}{\left(1-\frac{1}{q}\right)^{k+1}}
是奇質數的乘積，且此處w(q; m_1, m_2, \ldots , m_k)表示0, m_1, m_2, \ldots , m_k除以q後，其中不同的餘數的個數。

k=1且m_1=2的情況和孿生質數猜想相關，特別地，若以\pi_2(n)表示不大於n的孿生質數個數，那麼有
:\pi_2(n)\sim C_2 \int_2^n \frac{dt}{\log^2 t},

其中
:C_2 = 2\prod_{\textstyle{q \text{ prime,}\atop q \ge 3}} \left(1 - \frac{1}{(q-1)^2} \right) \approx 1.320323632\ldots

是孿生質數常數。

斯奎斯數
質數k元組的斯奎斯數，是根據哈代-李特爾伍德第一猜想，在質數k元組上對斯奎斯數的定義的推廣。質數k元組P的斯奎斯數的定義是最小的違反哈代-李特爾伍德的質數p，也就是最小的使得下式成立的質數：
: \pi_P(p)>C_P \operatorname {li}_P(p),

結果
目前已證明說，哈代-李特爾伍德第一猜想和哈代-李特尔伍德第二猜想彼此不相容。

推廣
是哈代-李特爾伍德第一猜想在次數大於一的多項式上的推廣。

出處
參考資料
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