在量子力學裏，重複地做同樣實驗，通常會得到不同的測量結果，期望值（）是理論平均值，可以用來預測測量結果的統計平均值。
量子力學顯露出一種內稟統計行為。同樣的一個實驗重複地做很多次，每次實驗的測量結果通常不會一樣，只有從很多次的實驗結果計算出來的統計平均值，才是可複製的數值。量子理論不能預測單次實驗的測量結果，量子理論可以用期望值來預測多次實驗得到的統計平均值。
採用狄拉克標記，假設量子系統的量子態為 |\psi\rang ，則對於這量子態，可觀察量 O 的期望值 \lang O\rang 定義為
: \lang O \rang\ \stackrel{def}{=}\ \lang \psi |\hat{O} | \psi \rang ；
其中，\hat{O} 是對應於可觀察量 O 的算符。
量子力學形式論
雖然量子力學與古典力學計算實驗平均值的方法相同，但是，量子力學形式論裏對於可觀察量的數學表述與古典的測度論有很顯著的不同。對應於可觀察量的量子算符可能有很多本徵值，而測量結果只能是其中一個本徵值，而且，每一個本徵值出現的機會呈機率性。測量這個動作會將量子系統的量子態改變為對應於本徵值的本徵態，並且，在之後短暫片刻內，量子系統的量子態是這本徵態。
以數學表述，對應於可觀察量 O 的量子算符 \hat{O} 是一個厄米算符，量子態是以態向量的形式存在於向量空間。
系综平均值
儀器的磁場方向為z-軸，入射的銀原子束可以被分裂成兩道銀原子束，每一道銀原子束代表一種量子態，上旋|\uparrow\rangle或下旋|\downarrow\rangle。]]
系綜是一組量子系統。概念而言，在系綜裏，量子系統的數量為無窮多。系綜又分為純系綜與混系綜。純系綜的每一個量子系統都具有同樣的量子態，這量子態也可以用來代表純系綜。前面幾節所論述的對象主要是純系綜。例如，從斯特恩-革拉赫實驗儀器分裂出來的兩道銀子束，一道是量子態為上旋的純系綜 \mathcal{E}_{up} ，另一道是量子態為下旋的純系綜 \mathcal{E}_{down} 。
混系綜的量子系統可以具有不同的量子態 |\psi^{(i)}\rang 。例如，在有一種混系綜 \mathcal{E}_{mix} 的所有量子系統裏，量子態為上旋的佔50%，量子態為上旋的佔50%。混系綜不能用單獨態向量設定，混系綜是用密度算符 \hat{\rho} 設定：
: \hat{\rho}= \sum_i w_i |\psi^{(i)}\rang\lang\psi^{(i)} | ；
其中，w_i 是找到量子態為 |\phi_i\rang 的量子系統在系綜裏的機率。
*純系綜 \mathcal{E}_{up} 的密度算符為 |\uparrow\rang\lang\uparrow | 。
*純系綜 \mathcal{E}_{down} 的密度算符為 |\downarrow\rang\lang\downarrow | 。
*混系綜 \mathcal{E}_{mix} 的密度算符為 \frac{1}{2}( |\uparrow\rang\lang\uparrow | + |\downarrow\rang\lang\downarrow |) 。
以算符 \hat{O} 的本徵態 |e_i\rang,\quad i=1,\,2,\,3,\,\dots\ 形成的基底來表示對應於密度算符的密度矩陣 \rho ：
: \rho_{jk}= \lang e_j|\rho|e_k\rang=\sum_i w_i \lang e_j|\psi^{(i)}\rang\lang \psi^{(i)} |e_k\rang ；
對於系綜測量可觀察量 O 得到的「系縱平均值」又稱為「系綜期望值」，簡稱「期望值」，以方程式表示為
:\begin{align}\lang O\rang & = \sum_i w_i \lang \psi^{(i)} |\hat{O} | \psi^{(i)} \rang \\
& = \sum_i\sum_j w_i \lang \psi^{(i)} |e_j\rang\lang e_j |\hat{O}| \psi^{(i)} \rang \\
& = \sum_i\sum_j w_i \lang \psi^{(i)} |e_j\rang\lang e_j | \psi^{(i)} \rang O_j \\
& = \sum_i\sum_j w_i |\lang \psi^{(i)} |e_j\rang|^2 O_j \\
\end{align}
。
對於一般可觀察量 A ，系縱平均值表示為
:\begin{align}\lang A\rang & = \sum_i w_i \lang \psi^{(i)} |\hat{A} | \psi^{(i)} \rang \\
& = \sum_i\sum_{j,k} w_i \lang \psi^{(i)} |e_j\rang\lang e_j |\hat{A}| e_k\rang\lang e_k |\psi^{(i)} \rang \\
& = \sum_i\sum_{j,k} w_i \lang e_k |\psi^{(i)} \rang\lang \psi^{(i)} |e_j\rang\lang e_j |\hat{A}| e_k\rang \\
& = \sum_{j,k} \rho_{kj}\lang e_j |\hat{A}| e_k\rang \\
& = Trace(\rho A) \\
\end{align}
；
其中，Trace(\rho A) 是矩陣 \rho A 的跡數。
總結，
: \lang A \rang= \mathrm{Trace} (\rho A) = \sum_i w_i \lang \psi_i | A| \psi_i \rang=\sum_i w_i \lang A \rang_{\psi_i} ；
其中，\lang A \rang_{\psi_i} 是對於量子態 \psi_i ，可觀察量 A 的期望值。
簡例
舉一個相當簡單的例子，假設 \hat{\Lambda} 是一個投影算符，則本徵值為 0 或 1 。這對應於一種「是非題」類型的物理實驗，這例子的期望值是實驗結果為 1 的機率，可以計算為
: \lang \Lambda\rang= | \hat{\Lambda} \psi |^2 。
位置空間案例
採用位置空間表現，設想一個移動於一維空間的量子粒子。在這裏，希爾伯特空間是 \mathcal{H} = L^2(\mathbb{R}) ，是實值定義域的平方可積函數的空間。
波函數 \psi(x) 定義為
:\psi(x)\ \stackrel{def}{=}\ \lang x|\psi\rang ；
其中，|x\rang 是位置算符 \hat{x} 的本徵態。
兩個態向量的內積是
:\lang \psi_1| \psi_2 \rang = \int \psi_1^*(x)\psi_2(x) \, \mathrm{d}x 。
對於任意量子態 \psi ，可觀察量 x 的期望值為
: \lang x \rang\ \stackrel{def}{=}\ \lang \psi | \hat{x} |\psi \rang 。
位置算符 \hat{x} 作用於量子態 |\psi\rang 的結果，表現於位置空間，等價於波函數 \psi(x) 與 x 的乘積，所以，
: \lang x \rang =\int_{ - \infty}^{\infty} \psi^\ast (x) \, x \, \psi(x) \, \mathrm{d}x
= \int_{ - \infty}^{\infty} x \, |\psi(x)|^2 \, \mathrm{d}x 。
粒子處於 x 與 x+dx 微小區間內的機率是
: p(x) \mathrm{d}x = \psi^*(x)\psi(x) \mathrm{d}x 。
粒子位置與機率的乘積在位置空間的積分，就是粒子位置的期望值。
通常而言，對於可觀察量 O 的量子算符 \hat{O} ，假若能夠找到其表現於位置空間的位置算符 \hat{\mathfrak{O}} 的形式，就可以計算出 O 的期望值。例如，表現於位置空間的動量算符 \hat{\mathfrak{P}} 的形式為：
:\hat{\mathfrak{P}}= \frac{\hbar}{i}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} 。
所以，動量的期望值為
: \lang P \rang=\frac{\hbar}{i} \int_{-\infty}^{\infty} \psi^*(x) \, \frac{d\psi(x)}{dx}\, \mathrm{d}x 。
參閱
*維里定理
*埃倫費斯特定理
參考文獻
*
Erwartungswert#Quantenmechanischer Erwartungswert
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