機率流

在量子力學裏，機率流，又稱為機率通量，是描述機率密度流動的物理量。假若將機率密度想像為非均勻流體，那麼，機率流就是這流體的流率（機率密度乘以速度）。

定義
在量子力學裏，從機率守恆可以得到「機率連續性方程式」。設定一個量子系統的波函數為 \Psi(x,t) 。定義機率流 \mathbf{J} 為
:\mathbf{J}\ \stackrel{def}{=}\ \frac{\hbar}{2mi}\left(\Psi^ \boldsymbol{\nabla} \Psi - \Psi \boldsymbol{\nabla} \Psi^\right) = \frac\hbar m \mbox{Im}(\Psi^*\boldsymbol{\nabla}\Psi) ；

其中，\hbar 是約化普朗克常數，m 是質量， \Psi^* 是 \Psi 是共軛複數， \mbox{Im}() 是取括弧內項目的虛部。

連續方程式與機率守恆定律
機率流滿足量子力學的連續方程式：
:\frac{\partial \rho}{\partial t} + \boldsymbol{\nabla}\cdot\mathbf{J} = 0 ；

其中，\rho = |\Psi|^2 是機率密度。

應用高斯公式，等價地以積分方程式表示，
:\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \int_\mathbb{V} |\Psi|^2 \mathrm{d}^3{r} + \oint_\mathbb{S}\mathbf{J}\cdot {\mathrm{d}\mathbf{a}} = 0 ；(1)

其中，\mathbb{V} 是任意三維區域，\mathbb{S} 是 \mathbb{V} 的邊界曲面。

這就是量子力學機率守恆定律的方程式。

方程式 (1) 左邊第一個體積積分項目（不包括對於時間的偏微分），即是測量粒子位置時，粒子在 \mathbb{V} 內的機率。第二個曲面積分是機率流出 \mathbb{V} 的通量。總之，方程式 (1) 表明，粒子在三維區域 \mathbb{V} 內的機率對於時間的微分，加上機率流出三維區域 \mathbb{V} 的通量，兩者的總和等於零。

連續方程式導引
測量粒子在三維區域 \mathbb{V} 內的機率 P 是
:P= \int_\mathbb{V} \rho\,\mathrm{d}^3\mathbf{r} = \int_\mathbb{V} |\Psi|^2 \,\mathrm{d}^3\mathbf{r} 。

機率對於時間的導數是
:\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \int_\mathbb{V} |\Psi|^2 \,\mathrm{d}^3{r} = \int_\mathbb{V} \left( \frac{\partial \Psi}{\partial t}\Psi^ + \Psi \frac{\partial \Psi^}{\partial t} \right) \,\mathrm{d}^3{r} ；(2)

假設 \Psi 的含時薛丁格方程式為
:i\hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t} = \frac{-\hbar^2}{2m} \nabla^2 \Psi + U\Psi ；

其中，U(\mathbf{r}) 是位勢。

將含時薛丁格方程式代入方程式 (2) ，可以得到
:\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t} = - \int_\mathbb{V} \frac{\hbar}{2mi} \left(\Psi^ \nabla^2 \Psi - \Psi \nabla^2 \Psi^ \right)\,\mathrm{d}^3{r} 。

應用一則向量恆等式，可以得到
:\boldsymbol{\nabla} \cdot \left(\Psi^\boldsymbol{\nabla} \Psi - \Psi \boldsymbol{\nabla} \Psi^ \right) = \boldsymbol{\nabla} \Psi^ \cdot \boldsymbol{\nabla} \Psi + \Psi^ \nabla^2 \Psi - \boldsymbol{\nabla} \Psi \cdot \boldsymbol{\nabla} \Psi^ - \Psi \nabla^2 \Psi^ 。

這方程式右手邊第一個項目與第三個項目互相抵銷，將抵銷後的方程式代入，
:\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t} = - \int_\mathbb{V} \boldsymbol{\nabla} \cdot \left[\frac{\hbar}{2mi}\left(\Psi^ \boldsymbol{\nabla} \Psi - \Psi \boldsymbol{\nabla} \Psi^ \right)\right]\,\mathrm{d}^3{r} 。

將機率密度方程式與機率流定義式代入，
:\int_\mathbb{V} \frac{\partial \rho}{\partial t}\,\mathrm{d}^3{r}= - \int_\mathbb{V} \left( \boldsymbol{\nabla} \cdot\mathbf{J}\right)\,\mathrm{d}^3{r} 。

這相等式對於任意三維區域 \mathbb{V} 都成立，所以，被積項目在任何位置都必須等於零：
:\frac{\partial \rho}{\partial t} + \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{J} = 0 。

範例
平面波
設定一個粒子的波函數 \Psi 為三維空間的平面波，
:\Psi(\mathbf{r},\,t)=A e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}} e^{i \omega t} ；

其中，A 是振幅常數，\mathbf{k} 是波數，\mathbf{r} 是位置，\omega 是角頻率，t 是時間。

\Psi 的機率流是
:\mathbf{J}= \frac{\hbar}{2mi} |A|^2 \left( e^{-i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}} \boldsymbol{\nabla} e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}} - e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}} \boldsymbol{\nabla} e^{-i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}}\right) = |A|^2 \frac{\hbar\mathbf{k}}{m} 。

這只是振幅的平方乘以粒子的速度 \mathbf{v} = \frac{\mathbf{p}}{m} = \frac{\hbar\mathbf{k}}{m} 。

請注意，雖然這平面波是定態，在每一個的地點，\frac{d|\Psi|^2}{dt} = 0 ，但是機率流仍舊不等於 0 。因此可以推論，雖然機率密度不顯性地跟時間有關，粒子仍可能移動於空間中。

盒中粒子
思考一維盒中粒子問題，能級為 E_n 的本徵波函數 \Psi_n 是
:\Psi_n = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin \left( \frac{n\pi}{L} x \right),\qquad 0 \le x \le L ；

其中，L 是一維盒子的寬度，兩扇盒壁的位置分別在 x=0 與 x=L 。

由於 \Psi_n = \Psi_n^* ，其機率流為
:J_n = \frac{\hbar}{2mi}\left( \Psi_n^ \frac{\partial \Psi_n}{\partial x} - \Psi_n \frac{\partial \Psi_n^}{\partial x} \right) = 0 。

參閱
*階梯位勢
*透射係數