克拉克森不等式

數學的克拉克森不等式是Lp空間上的一個結果，用兩個可測函數的Lp範數，來表示它們的和及差的Lp範數的上界。這不等式是平行四邊形恆等式的一個推廣。

不等式敘述
設(X,\Sigma,\mu)是測度空間，f,g:X\to \R是在L^p(X)空間內的可測函數。當2 \leq p 時，有
:\left\| \frac{f + g}{2} \right\|_{L^{p}}^{p} + \left\| \frac{f - g}{2} \right\|_{L^{p}}^{p} \le \frac{1}{2} \left( \| f \|_{L^{p}}^{p} + \| g \|_{L^{p}}^{p} \right)；
當1時，有
:\left\| \frac{f + g}{2} \right\|_{L^{p}}^{q} + \left\| \frac{f - g}{2} \right\|_{L^{p}}^{q} \le \left( \frac{1}{2} \| f \|_{L^{p}}^{p} +\frac{1}{2} \| g \|_{L^{p}}^{p} \right)^\frac{q}{p}，
其中\frac1{p} + \frac1{q} = 1，即q=\frac p {p-1}。

p>2的情形較易證明，可以簡單地用三角不等式和函數
:x \mapsto x^{p}
的凸性證出。

外部連結
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