圆外切梯形

在欧几里得几何中，'（，也称为切线梯形）是指存在内切圆的梯形，或者说有一对边平行的圆外切四边形。存在圆外切等腰梯形和圆外切直角梯形**等子类型。菱形、正方形也可以看成是是特殊的。

：
\begin{align}&|AB| + |CD|\\ =&(a+b)+(c+d)\\=&(b+c)+(a+d)\\=&|BC| + |DA| \end{align}]]
周长
根据皮托定理：圆外切四边形对边和相等，可得到的两腰长和与两底长和相等，则周长 为：
:S=\frac{a+b}\sqrt{ab(a-c)(c-b)}
其中a、b为两底长，c为任意一腰长。

由于的高与内切圆直径相等，则由中位线面积公式可得：

:S = mh = mD = 2mr = (a+b)r = (c+d)r

此外，设四条不同点出发的切线长为，则面积为：
:S=\sqrt[4]{efgh}(e+f+g+h)=s\sqrt[4]{efgh}

内切圆半径
由四边形内切圆半径公式r=\frac{S}{s}，和上述两个面积公式得到：

:r=\frac{\sqrt{ab(a-c)(c-b)}}

:r=\sqrt[4]{efgh}

更一般的，若中，、分别是同一腰上的切线长，则根据梯形高与腰构成的直角三角形的勾股定理(e+h)^2-(e-h)^2=4r^2=(f+g)^2-(f-g)^2得到：

:r=\sqrt{eh}=\sqrt{fg}

由此式能得到上述四切线长有关的半径公式和面积公式。

圆外切直角梯形
圆外切直角梯形（）是指底角为直角的，设其上下底长分别为，则由皮托定理得出斜腰长c=a+b-h=a+b-2r，由斜腰三角形勾股定理(a+b-2r)^2=(2r)^2+(b-a)^2可得到内切圆半径为：
:r=\frac{ab}{a+b}
内切圆的直径与梯形的高相等，为上下底的调和平均数，暨D=h=\frac{2ab}{a+b}

将上式代入梯形的面积公式S = \frac{1}{2}(a + b)h，可得出面积为两底长之积：
:r=\tfrac{1}{2}\sqrt{ab}

内切圆的直径与梯形的高相等，为上下底的几何平均数，暨D=h=\sqrt{ab}

因此，圆外切等腰梯形也可以作为均值不等式中，算术平均数大于几何平均数的几何解释。这一类问题也是日本算額中的常见问题。

将半径代入圆外切四边形面积公式r=\frac{S}{s}，可以得到圆外切等腰梯形的面积为：
:S=\tfrac{1}{2}\sqrt{ab}(a+b)

另外，由均值不等式中，几何平均数大于调和平均数可知，在两底长相同的情况下，圆外切等腰梯形的半径、高、圆面积、梯形面积都大于圆外切直角梯形。

更一般的，在所有由相同所构成的中，圆外切等腰梯形的上述四者是最大的。暨中，、分别是同一腰上的切线长，e+f=a，g+h=b，r^2=\sqrt{efgh}\le\tfrac{ab}{4}，当且仅当e=f，g=h时取等于号，此时两腰相等。

参考文献