圓內接四邊形的日本定理

在几何学中，圓內接四邊形的日本定理指出，圆内接四边形内某些三角形的内心形成一个矩形。

任意圆内四边形被对角线分成四个三角形（每条对角线分出两个三角形）。这些三角形的内心形成一个矩形。

具体而言，设为任意圆内接四边形， , , , 分别为三角形, , , 内心，则, , , 所构成的四边形为矩形。

证明1
\left|\sphericalangle ABD\right| = \left|\sphericalangle ACD\right|

（以下称为\alpha角），因为这两个角都是弦 \overline {AD} 的周角。

因为

\begin{aligned}\left|\sphericalangle AM_1D\right| &= 180^\circ -\frac{\left|\sphericalangle BAD\right| +\left|\sphericalangle BDA\right|}{2}\\
&= 180^\circ - \frac{180^\circ - \left|\sphericalangle ABD\right|}{2} \\&= 90^\circ + \frac{\left|\alpha\right|}{2}
\end{aligned}

由此可得，

\left|\sphericalangle AM_1D\right| =\left|\sphericalangle AM_4D\right| = 90^\circ + \frac{\left|\alpha\right|}{2}

由于这些角相等，\square AM_1M_4D是一个圆内接四边形。

根据圆内接四边形的性质，现在有\left|\sphericalangle M_1M_4D\right| = 180^\circ - \left|\sphericalangle DAM_1\right|

同样地，对于\square DCM_4M_3也成立：

\left|\sphericalangle DM_4M_3\right| = 180^\circ - \left|\sphericalangle M_3CD \right|

角度相加，得到以下结果

\left|\sphericalangle M_1M_4D\right| + \left|\sphericalangle DM_4M_3\right| = 360^\circ - \left|\sphericalangle DAM_1\right| - \left|\sphericalangle M_3CD\right|=360^\circ - \frac{\left|\sphericalangle DAB\right| + \left|\sphericalangle BCD\right|}{2} = 360^\circ - \frac{180^\circ}{2} = \underline{\underline{270^\circ}}

由于

\sphericalangle M_1M_4M_3 = 270^\circ

所以

\sphericalangle M_3M_4M_1 = 90^\circ

以上对于点M_1,M_2,M_3,M_4之间的其他角度也同样成立，它们都是90^\circ。

因此，\square M_1M_2M_3M_4是一个矩形。证毕。

证明2
根据Thébault定理(3)有如下结论：
{{Math theorem
| math_statement = 給定任意三角形ABC，BC上任意一點M。作兩個圓，均與AM、BC、外接圓相切。該兩圓的圓心P、Q和三角形內心I三点共线共線，且
:\frac{P I}{I Q}=\tan^2 \frac\theta2
其中\theta=\angle AMB.
}}
下面开始处理原题。

先标记题目中四个三角形的内心是I_a、I_b、I_c、I_d.

假设对角线 AC 和 BD 交于 E.

与线段 AE、BE 及外接圆相切的圆的圆心记为O_{cd}，

类似地，与线段 BE、CE 及外接圆相切的圆的圆心记为O_{da}、与线段 CE、DE 及外接圆相切的圆的圆心记为O_{ab}、与线段 DE、AE 及外接圆相切的圆的圆心记为O_{bc}.

设 AE、BE 的夹角是\theta，根据上面的Thébault定理(3)有如下结论：

O_{da}、I_d、O_{cd}三点共线，且
:\frac{O_{c d} I_d}{I_d O_{d a}}=\tan^2 \frac\theta2
同理，O_{ab}、I_a、O_{da}三点共线，且
:\frac{O_{a b} I_a}{I_a O_{d a}}=\tan^2 \frac\theta2
所以，
:I_a I_d /\!/ O_{a b} O_{c d}
由于 O_{c d} O_{a b}\perp O_{d a} O_{b c} (因为它们沿着角 E 的角平分线)，所以 I_a I_d\perp I_d I_c，所以 I_aI_bI_cI_d 是矩形。证毕。

推广
过M_1,M_2,M_3,M_4作四边形的对角线的平行线，形成一个平行四边形，由作图可知平行四边形为菱形，于是「与各对角线相切的内切圆半径之和相等」。

该定理可推广到圓內接多邊形的日本定理。

证明了四边形的情况后，可以把一般多边形分成三角形进行归纳而立即证明一般情况。

又见

• 卡诺定理
• 算額
• 日本数学

参考

• Mangho Ahuja, Wataru Uegaki, Kayo Matsushita: [https://web.archive.org/web/20070208105128/http://www.math-cs.cmsu.edu/~mjms/2006.2/mangho999.ps In Search of the Japanese Theorem] (postscript file)
• [http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/CyclicQuadrilateral.shtml#explanation Incenters in Cyclic Quadrilateral] at Cut-the-Knot
• Wataru Uegaki: [http://hdl.handle.net/10076/4917 ""] (On the Origin and History of the Japanese Theorem). Departmental Bulletin Paper, Mie University Scholarly E-Collections, 2001-03-01

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外部链接

• [https://www.gogeometry.com/geometry/sangaku_cyclic_quadrilateral.htm gogeometry.com]