在数学中，单参数酉群的斯通定理是泛函分析的一个基本定理，建立了希尔伯特空间 \mathcal{H} 上强连续单参数酉群与该空间上的某个自伴算子的一一对应关系。具体来说，单参数酉群是指幺正算子构成的单参数族 (U_{t})_{t \in \R} ，且 t\mapsto U_t是一个连续群同態，所谓强连续是指
: \forall t_0 \in \R, \psi \in \mathcal{H}: \qquad \lim_{t \to t_0} U_t(\psi) = U_{t_0}(\psi).
该定理由证明，而 表明，至少当希尔伯特空间是可分的， (U_t)_{t \in \R} 的强连续性可以放宽为弱可测。
这是一个令人印象深刻的结果，因为它允许人们定义映射 t \mapsto U_t 的导数，而该映射仅仅需要是连续的。它也与李群和李代数的理论有关。
正式表述
{{Math theorem
| name = 定理
| math_statement = 设 (U_t)_{t \in \R} 是一个强连续的单参数酉群。那么存在一个唯一的（可能是无界的）自伴算子 A: \mathcal{D}_A \to \mathcal{H} 满足 \forall t \in \R : \qquad U_t = e^{itA}.
A 的定义域 \mathcal{D}_A \subseteq \mathcal{H} 定义为 \mathcal{D}_A = \left \{ \psi \in \mathcal{H} \left | \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{-i}{\varepsilon} \left(U_{\varepsilon} (\psi) - \psi \right) \text{ exists} \right. \right \}.
反过来，设 A: \mathcal{D}_A \to \mathcal{H} 是一个 \mathcal{D}_A \subseteq \mathcal{H} 上的（可能无界的）自伴算子，并定义单参数的幺正算子族 (U_{t})_{t \in \R} 为 \forall t \in \R, \quad U_{t} := e^{itA}, 则其构成一个强连续的单参数群。
}}
在定理的两个部分中，表达式 e^{itA} 是通过博雷尔函数演算来定义的，它用到了无界自伴算子的谱定理。
无穷小生成元
上述定理中的算子 A 被称为 (U_{t})_{t \in \R} 的无穷小生成元。此外， A 有界当且仅当映射 t \mapsto U_{t} 是范数连续的。
强连续酉群 (U_{t})_{t \in \R} 的无穷小生成元 A 可以用下面的式子来计算：
: A\psi = -i\lim_{\varepsilon\to 0}\frac{U_\varepsilon\psi-\psi}{\varepsilon},
其中， A 的定义域为由这些在范数拓扑中存在极限的向量 \psi 组成。也就是说， A 等于 -i 乘以 U_t 关于 t 在 t=0 处的导数。该定理的一部分内容就是该导数的存在性——即 A 是一个稠密定义的自伴算子。这个结果即使在有限维情况下也不是显然的，因为 U_t 仅被假设具有（关于时间的）连续性，而不必可微。
例子
平移算子族
: \left T_t(\psi) \right = \psi(x + t)
是一个由酉算子构成的单参数酉群；其无穷小生成元是一个空间上的微分算子
: -i \frac{d}{dx}
的一个，该空间由 \R 上连续可微的紧支撑复值函数构成。因此
: T_{t} = e^{t \frac{d}{dx}}.
换句话说，直线上的运动是由动量算子生成的。
应用
斯通定理在量子力学中有着广泛的应用。例如，给定一个孤立的量子力学系统，其状态的希尔伯特空间为 \mathcal{H} ，其时间演化则是 \mathcal{H} 上的强连续单参数酉群。这个群的无穷小生成元即是系统的哈密顿算子。
基于傅里叶变换的表述
斯通定理可以用傅里叶变换的语言来重述。实轴 \R 是一个局部紧阿贝尔群。 C^(\R) 的非退化-表示与 \R 的强连续幺正表示（即强连续的单参数酉群）一一对应。另一方面，傅里叶变换是 C^(\R) 到 C_0(\R) 的-同态，其中 C_0(\R) 是实轴上的在无穷远处消失的连续复值函数所构成的C-代数。因此，强连续单参数酉群与 C_0(\R) 的-表示之间存在一一对应关系。由于 C_0(\R) 的每个*-表示唯一地对应于一个自伴算子，就得到了斯通定理。
因此，获得强连续单参数酉群的无穷小生成元的过程如下：
- 设 (U_{t})_{t \in \R} 是 \R 在希尔伯特空间 \mathcal{H} 上的强连续幺正表示。
- 积分此酉表示以产生 C^(\R) 在 \mathcal{H} 上的非退化-表示 \rho 。即，先定义\forall f \in C_c(\R): \quad \rho(f) := \int_{\R} f(t) U_{t} dt,再将 \rho 连续扩张到整个 C^*(\R) 。
- 使用傅里叶变换获得 C_0(\R ) 在 \mathcal{H} 上的非退化的 *-表示 \tau 。
- 根据里斯-马尔可夫-角谷表示定理， \tau 给出 \R 上的一个投影值测度，而其是唯一的（可能无界的）自伴算子 A 的单位分解。
- 于是， A 就是 (U_{t})_{t \in \R } 的无穷小生成元。
C^(\R) 的精确定义如下。考虑 \R 上的紧支撑连续复值函数，通过由卷积给出其乘法，其构成一个-代数 C_c(\R) 。这个 -代数关于L1范数可完备化为一个巴拿赫-代数，记作 (L^1(\R),\star) 。于是 C^(\R) 就被定义为 (L^1(\R),\star) 的包络C^ -代数 ，即 (L^1(\R),\star) 相对于最大的可能的C-范数的完备化。一个非平凡的事实是，傅里叶变换是 C^(\R) 与 C_0(\R) 间的一个同构。这个方向的一个结果是黎曼-勒贝格引理，它指出傅里叶变换将 L^1(\R) 映射到 C_0(\R) 。
推广
斯通-冯诺伊曼定理将斯通定理推广到满足正则对易关系的一对自伴算子 (P,Q) 上，并证明它们都与 L^2(\R) 上的位置算符和动量算符幺正等价。
将斯通定理推广到巴拿赫空间上的强连续单参数压缩半群。
引注
参考书目
*
*
*
*
- K. Yosida, Functional Analysis, Springer-Verlag, (1968)
评论 (0)