在量子力学（以及量子计算、量子信息）中，弱测量是一种量子测量，其观察者平均来说只获得很少的有关系统的信息，但对状态的干扰也很小。根据的定理可知，系统必然会受到测量的干扰。在文献中，弱测量也被称为不清晰（unsharp）、模糊（fuzzy） 、噪声式（noisy） 、渐进（approximate）或平和（gentle）的测量。此外，弱测量常常与一个不同但相关的概念「弱值」相混淆。
历史
弱测量最初是在量子系统的弱连续测量（即量子滤波和量子轨迹）的背景下考虑的。连续量子测量的物理学如下。考虑使用一个辅助系统（例如场或电流）来探测量子系统，系统和探测器之间的相互作用使两者相互关联。通常，相互作用仅使系统与辅助系统具有弱关联（具体而言，相互作用幺正算子仅需微扰展开到一阶或二阶）。通过测量辅助系统并利用量子测量理论，可以确定基于测量结果的系统状态。为了实现有效的测量，必须耦合进多个辅助系统并测量。在极限情况下，存在一系列辅助系统，使得测量过程可以在时间上是连续的。这一过程首先由以下学者表述：Michael B. Mensky; Viacheslav Belavkin; Alberto Barchielli, L. Lanz, GM Prosperi; Barchielli; Carlton Caves; Caves, Gerald J. Milburn. 后来 Howard Carmichael 和 Howard M.Wiseman 也为该领域做出了重要贡献。
弱测量的概念经常被错误地归于 Yakir Aharonov 、 David Albert 和 Lev Vaidman 。下面采用的方法是使两个系统发生弱相互作用，然后测量其中一个系统。详细介绍这种方法之后，我们将通过示例进行说明。
弱相互作用和辅助耦合测量
考虑一个系统，其初始的量子态为 |\psi\rangle ，同时辅助系统处于 |\phi\rangle ，联合的初始状态则为 |\Psi\rangle = |\psi\rangle \otimes |\phi\rangle 。这两个系统依照哈密顿算子 H = A \otimes B 相互作用，其生成的时间演化算子 U(t) = \exp[-ixtH] （取 \hbar = 1 的单位制）， 其中 x 是“相互作用强度”且具有时间倒数的量纲。假设相互作用时间固定为 t = \Delta t 且 \lambda = x \Delta t 很小以至于 \lambda^3 \approx 0 。 U 关于 \lambda 的级数展开给出
:
\begin{align}
U &= I \otimes I - i\lambda H - \frac 1 2 \lambda^2 H^2 + O(\lambda^3) \\
&\approx I \otimes I - i\lambda A \otimes B - \frac 1 2 \lambda^2 A^2 \otimes B^2.
\end{align}
由于在微扰论中只需要将幺正算子展开到低阶，所以称其为一个弱的相互作用。此外，幺正算子的主要部分是恒等算子，因为 \lambda 和 \lambda^2 很小，这意味着相互作用后的状态与初始状态并没有太多区别。相互作用后系统的联合状态为
:
|\Psi'\rangle = \left(I \otimes I - i\lambda A \otimes B - \frac 1 2 \lambda^2 A^2 \otimes B^2\right) |\Psi\rangle.
现在我们对辅助系统进行测量来了解系统，这称为辅助系统耦合测量。我们将考虑（辅助系统上的）在基 |q\rangle 下的测量，其中 |q\rangle 满足 \sum_q |q\rangle \langle q| = I 。两个系统上的测量都由到联合状态 |\Psi'\rangle 的投影算子 \Pi_q = I \otimes |q\rangle \langle q| 来描述。从量子测量理论可知测量后的条件状态是
:
\begin{align}
|\Psi_q\rangle &= \frac{\Pi_q |\Psi'\rangle}{\sqrt{\langle\Psi'| \Pi_q |\Psi'\rangle}} \\
&= \frac{I \langle q|\phi\rangle - i\lambda A \langle q| B |\phi\rangle - \frac 1 2 \lambda^2 A^2 \langle q| B^2 |\phi\rangle}{\mathcal N} |\psi\rangle \otimes |q\rangle,
\end{align}
其中 \mathcal N = \sqrt{\langle\Psi'| \Pi_q |\Psi'\rangle} 是归一化因子。注意辅助系统状态记录了测量的结果。 M_q := I \langle q|\phi\rangle - i\lambda A \langle q| B |\phi\rangle - \frac 1 2 \lambda^2 A^2 \langle q| B^2 |\phi\rangle 是系统的希尔伯特空间上的算子，称为克劳斯算子。
在这些克劳斯算子对应的测量后，联合系统的状态为
:
|\Psi_q\rangle = \frac{M_q |\psi\rangle}{\sqrt{\langle \psi|M_q^\dagger M_q|\psi\rangle}} \otimes |q\rangle.
算子 E_q = M_q^\dagger M_q 是所谓的正算子测量的元素，其须满足 \sum_q E_q = I 从而使得相应的概率之和为一： \sum_q \Pr(q|\psi) = \sum_q \langle\psi| E_q |\psi\rangle = 1 。由于辅助系统不再关联于主系统，它只是记录测量的结果，我们可以迹掉它。这做法将给出主系统本身的条件状态：
:
|\psi_q\rangle = \frac{M_q |\psi\rangle}{\sqrt{\langle \psi|M_q^\dagger M_q|\psi\rangle}},
这里仍用 q 标记测量结果。事实上，这些考虑使得人们得以导出量子轨迹。
克劳斯算子示例
我们将使用 Barchielli, Lanz, Prosperi Fuchs; Fuchs, KA. Jacobs; K. Banaszek.
最近，人们在所谓的“温和测量引理”的语境下检验了信息获取与态的扰动间的交换关系。
应用
从很早以前就已经很清楚，弱测量的主要用途是用于量子系统的反馈控制或自适应测量。事实上，这是 Belavkin 大部分工作的动机，而 Caves 和 Milburn 也给出了一个明确的例子。自适应弱测量的一个早期应用是，该接收器已在实验上实现。弱测量的另一个有趣的应用是使用弱测量，然后跟一个幺正算子（可能依赖于弱测量的结果）来合成其他广义测量。
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- Tamir 和 Cohen 的文章
参考资料
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