在泛函分析和量子信息科学中，正算子值测度（Positive operator valued measure, POVM）是一种推广的测度，这种测度的值为希尔伯特空间上半正定算子。POVM是投影值测度（Projection valued measure, PVM） 的推广，相应地，POVM描述的量子测量是PVM描述的量子测量 (称为投影测量) 的推广。
粗略比喻来说：POVM之于PVM，就如同混合态之于纯态一样。 混合态对于刻画一个较大系统的子系统的状态而言是必须的（见量子态的纯化）；类似地，POVM的概念则在刻画在较大系统上进行的投影测量对子系统的影响时自然地产生。
POVM是量子力学中最普遍的测量类型，也用于量子场论。它们在量子信息领域有着广泛的应用。
定义
设 \mathcal{H} 是一希尔伯特空间，而 (X, M) 是一可测空间，其中 M 是 X 上的博雷尔σ-代数。若 M 上的一个函数 F ，其值为 \mathcal{H} 上的正有界自伴算子，且对于任意 \psi \in \mathcal{H} 和 E\in M 满足
: E \mapsto \langle F(E) \psi|\psi \rangle,
则 F 是σ-代数 M 上的非负可数可加测度，且总质量为恆等算子 F(X) = \operatorname{I}_{\mathcal{H}} ，那么称 F 是一个POVM。
在最简单的情况下，POVM是有限维希尔伯特空间 \mathcal{H} 上的一组半正定埃尔米特矩阵 \{F_i\} ，其和为单位矩阵
: \sum_{i=1}^n F_i = \operatorname{I}.
POVM与投影值测度的不同之处在于，对于投影值测度， F必须是正交投影。
在量子力学中，POVM的关键性质是它确定了结果空间上的一个概率测度，因此 \langle F(E) \psi|\psi \rangle 可以解释为测量量子态 | \psi \rangle 时得到结果 E 的概率（密度）。也就是说，POVM元素 F_i 是关联于测量结果 i 的，从而对量子态 \rho 进行量子测量时得到它的概率
: \text{Prob}(i) = \operatorname{tr}(\rho F_i) ，
其中 \operatorname{tr} 是迹运算。若被测量的量子态是纯态 |\psi\rangle ，则此公式简化为
: \text{Prob}(i) = \operatorname{tr}(|\psi\rangle\langle\psi| F_i) = \langle\psi|F_i|\psi\rangle 。
POVM的最简单情况推广了PVM的最简单情况，即PVM是一组和为恒等矩阵的正交投影 \{\Pi_i\} 的情况：
: \sum_{i=1}^N \Pi_i = \operatorname{I}, \quad \Pi_i \Pi_j = \delta_{i j} \Pi_i.
PVM的概率公式与POVM的概率公式相同。一个重要的区别是POVM的元素不一定正交。因此，POVM元素的数量 n 可以大于其所作用的希尔伯特空间的维数，而PVM元素的数量 N 不会超过希尔伯特空间的维数。
奈马克扩张定理
奈马克扩张定理展示了如何从作用于更大空间的PVM中得到POVM。这一结果在量子力学中至关重要，因为它提供了一种物理实现正算子值测量的方法。
最简单的情况是，POVM元素作用于一个有限维希尔伯特空间且数目有限。奈马克扩张定理指出，若 \{F_i\}_{i=1}^n 是 d_A 维希尔伯特空间 \mathcal{H}_A 上的POVM，则存在一个 d_{A'} 维希尔伯特空间 \mathcal{H}_{A'} 上的PVM \{\Pi_i\}_{i=1}^n 以及等距同构 V : \mathcal{H}_A \to \mathcal{H}_{A'} ，使得对于任意 i 有
: F_i = V^\dagger \Pi_i V.
对于秩为一的POVM的特殊情况，即存在某（未归一化的）向量 |f_i\rangle 使得 F_i = |f_i\rangle\langle f_i| ，该等距映射可以构造为
: V = \sum_{i=1}^n |i\rangle_{A'}\langle f_i|_{A}
而PVM则由 \Pi_i = |i\rangle\langle i|_{A'} 给出。注意这里 d_{A'} = n 。
一般情况下，等距同构和PVM可以通过定义 \mathcal{H}_{A'} = \mathcal{H}_{A}\otimes \mathcal{H}_{B} 、 \Pi_i = \operatorname{I}_A \otimes |i\rangle\langle i|_B 和
: V = \sum_{i=1}^n \sqrt{F_i}_A \otimes |\varphi^\perp\rangle\langle\varphi^\perp|
:F_{\varphi}=\frac{1}{1+|\lang\varphi|\psi\rang|}|\psi^\perp\rangle\langle\psi^\perp|
:F_?= \operatorname{I}-F_{\psi}-F_{\varphi}= \frac{2|\lang\varphi|\psi\rang|}{1+|\lang\varphi|\psi\rang|} |\gamma\rangle\langle\gamma|,
其中
:|\gamma\rangle = \frac1{\sqrt{2(1+|\lang\varphi|\psi\rang|)}}(|\psi\rangle+e^{i\arg(\lang\varphi|\psi\rang)}|\varphi\rangle).
注意到 \operatorname{tr}(|\varphi\rangle\langle\varphi|F_{\psi}) = \operatorname{tr}(|\psi\rangle\langle\psi|F_{\varphi}) = 0 ，所以当得到结果 \psi 时，便可确凿地知晓系统是处于 |\psi\rangle ，而当结果为 \varphi 时就知晓系统处于 |\varphi\rangle 。
当系统处于 |\psi\rangle 或 |\varphi\rangle 的概率相同时，该测量方案得到确定性结果的概率是
:1-|\lang\varphi|\psi\rang|.
这一结果称为 Ivanović-Dieks-Peres 极限，冠名于UQSD研究的先驱者.
由于这些POVM是秩为一的，可以看到通过前文叙述的构造投影测量的方法，便可在物理上实现这些POVM。将扩大后的希尔伯特空间中的三种可能的态分别标记为 |\text{result ψ}\rangle 、 |\text{result φ}\rangle 、 |\text{result ?}\rangle ，幺正算子 U_\text{UQSD} 在态 |\psi\rangle 上的作用结果是
:U_\text{UQSD}|\psi\rangle = \sqrt{1-|\lang\varphi|\psi\rang|}|\text{result ψ}\rangle + \sqrt |\text{result ?}\rangle,
类似地，它在 |\varphi\rangle 上作用的结果是
:U_\text{UQSD}|\varphi\rangle = \sqrt{1-|\lang\varphi|\psi\rang|}|\text{result φ}\rangle + e^{-i\arg(\lang\varphi|\psi\rang)}\sqrt|\text{result ?}\rangle.
于是投影测量便可以相同于POVM的概率来得到所要的结果。
这种POVM已在实验上用于区分一个光子的非正交偏振态。不过实现该POVM的投影测量与此处阐述的有轻微的不同。
参见
- 量子测量
- 量子力学的数学表述
- 密度矩阵
- 量子操作
- 投影值测度
- 向量测度
参考资料
外部链接
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