扰动函数

最优化领域中，扰动函数（perturbation function）是与主问题和对偶问题相关的任何函数。由于任何此类函数都定义了对初始问题的扰动，所以叫做扰动函数。很多时候这种扰动的形式是约束的调整（shift）。

有时值函数（value function）也被称作扰动函数，而扰动函数则称作双函数（bifunction）。

定义
给定豪斯多夫局部凸空间的两个对偶对\left(X,X^\right)、\left(Y,Y^\right)，以及函数f: X \to \mathbb{R} \cup \{+\infty\}，可以定义主问题为

:\inf_{x \in X} f(x). \,

可令f \leftarrow f + I_\mathrm{constraints}以将约束嵌入f，其中I是示性函数。则F: X \times Y \to \mathbb{R} \cup \{+\infty\}是扰动函数，当且仅当F(x,0) = f(x)。

在对偶性中的应用
对偶间隙是不等式右式与左式之差
:\sup_{y^ \in Y^} -F^(0,y^) \le \inf_{x \in X} F(x,0),
其中F^*是两个变量的凸共轭。

对扰动函数F的任意选择，弱对偶都成立。有一些条件一旦满足，就意味着强对偶。

参考文献