数学中，对称化是将n元任意函数转换为n元对称函数的过程。同样，反对称化将n元任意函数转换为反对称函数。
二元
令S为集合，A是加法阿贝尔群。映射\alpha : S \times S \to A，若满足以下条件，则称其为对称映射：
\alpha(s,t) = \alpha(t,s) \quad \forall s, t \in S.
若满足以下条件，则称其为反对称映射：
\alpha(s,t) = - \alpha(t,s) \quad \forall s, t \in S.
映射\alpha : S \times S \to A的对称化是映射(x,y) \mapsto \alpha(x,y) + \alpha(y,x).
相似地，映射\alpha : S \times S \to A的反对称化或斜对称化是映射(x,y) \mapsto \alpha(x,y) - \alpha(y,x).
映射\alpha的对称化与反对称化之和为2 \alpha.因此，若2是可逆元，例如对实数，可以除以2并将每个函数表为对称函数与反对称函数之和。
对称映射的对称化是它的两倍，交错映射的对称化是0；相似地，对称映射的反对称化是0，反对称映射的反对称化是它的两倍。
双线性形式
双线性映射的（反）对称化是双线性的，因此若2是可逆元，双线性形式是对称形式与斜对称形式之和，对称形式与二次型之间没有区别。
2时，并非所有形式都可分解为对称形式与斜对称形式。例如，整数上，相关的对称形式（有理数上）可能取半整数值，而在\Z / 2\Z上，当且仅当函数是对称的（1 = - 1），才是斜对称的。
这就引出了ε-二次型与ε-对称形式的概念。
表示论
用表示论的术语来说：
- 交换变量可得对称群在二元函数空间上的表示。
- 对称与反对称函数是对应于平凡表示与符号表示的子表示。
- 对称化与饭对称化将函数映射到子表示中。若除以2，就会产生射影映射。
由于2阶对称群等于2阶循环群（\mathrm{S}_2 = \mathrm{C}_2），这相当于2阶离散傅立叶变换。
n元
给定n元函数，可通过求所有变量的n!种排列所得值之和实现对称化，通过求所有变量的n!/2种偶排列所得值之和减去n!/2种奇排列所得值之和实现反对称化（n \leq 1时唯一的排列是偶的）。
当中，对称函数的对称化是原函数乘以n!。因此若n!可逆，如特征为0的域上时，或p > n，则这些函数除以n!会产生射影。
就表示论而言，这些只产生与平凡表示和符号表示相对应的子表示，但对于n > 2还有其他表示。
自助法
给定k元函数，对变量的k元素子集求和，可得n元对称函数。统计学中，这被称作自助法，相关统计量称作U-统计量。
另见
- 交错多线性映射
- 反对称张量
注释
参考文献
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