測量員公式

測量員公式（），又稱為鞋帶公式（）、測量師公式、高斯面積公式（），是用來計算笛卡兒平面上的任意多邊形面積的一個公式。內容如下：給定座標平面上n個點的座標（依逆時針順序）A_1(x_1, y_1), A_2(x_2, y_2), A_3(x_3, y_3), \dots, A_n(x_n, y_n)，此n個點所圍成的n邊形之面積S=\frac{1}{2} \begin{vmatrix} x_1 & x_2 & x_3 & {...} & x_n & x_1 \\ y_1 & y_2 & y_3 & {...} & y_n & y_1 \end{vmatrix}=\frac{1}{2}\left(\begin{vmatrix} x_1 & x_2 \\ y_1 & {y_2} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} x_2 & x_3 \\ y_2 & {y_3} \end{vmatrix} + ... + \begin{vmatrix} x_{n-1} & x_n \\ y_{n-1} & {y_n} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} x_{n} & x_1 \\ y_{n} & {y_1} \end{vmatrix}\right)

= \frac{1}{2}\left[(x_1y_2 - x_2y_1) + (x_2y_3 - x_3y_2) + \dots + (x_{n - 1}y_n - x_{n}y_{n - 1}) + (x_ny_1-x_1y_n)\right]。

使用範例
如右圖，ABCDE 為一個五邊形。其座標（已依照逆時針順序排序）分別為A(5{,} 0){,} B(7, 10){,} C(-2, 15){,} D(-10, 2){,} E(-5{,} -6)。則由測量員公式可知，此五邊形之面積為S_{ABCDE}=\frac{1}{2} \begin{vmatrix}5 & 7 & -2 & -10 & -5 & 5\\ 0 & 10 & 15 & 2 & -6 & 0\end{vmatrix} = \frac{1}{2} [ 5\times 10- 0 + 7 \times 15 - (-2) \times 10 + (-2) \times 2 - (-10) \times 15 + (-10) \times (-6) - (-5) \times 2 - 5 \times (-6) ]

=210.5

參考資料