圓弧的矢(sagitta,有時縮寫成sag)或弓形高是指該圓弧對應的弦之中點到弧之中點的距離。
在建築學中,矢廣泛用於計算跨越一定高度和距離所需的弧度,並且在光學中用於評估球面鏡或透鏡的厚度。矢的英文sagitta來自拉丁文sagitta意思是「箭」。
三角函數的正矢函數正是得名於矢,在割圓八線中,矢對應到正矢。
矢與弓形高是相似的概念,差別僅在矢專指一個弧中點到弧兩端連線之中點的那條線,而弓形高是弓形的高。矢與弧相關,而弓形高與弓形相關。
公式
在下列等式中,s代表矢(弓形高),r為圓的半徑,l為圓弧兩端點的距離,也就是弦長。其中半弦\tfrac12l和弓心距r - s正好是直角三角形的兩條邊,半徑r剛好是其斜邊,根據勾股定理則有:
: r^2 = \left(\tfrac12l\right)^2 + \left(r-s\right)^2.
由此可以推導出矢s、弦l和半徑r的關係式:
: \begin{align}
s &= r - \sqrt{r^2 - \tfrac14l^2}, \\[10mu]
l &= 2\sqrt{2rs - s^2}, \\[5px]
r &= \frac{s^2 + \tfrac14l^2}{2s} = \frac{s}{2}+\frac{l^2}{8s}.
\end{align}
矢也可以透過正矢函數來計算出來。若圓弧對應的圓心角為,令,則矢為:
: s = r \operatorname{versin}\theta = r\left(1-\cos\theta\right) = 2r\sin^2\frac\theta 2.
近似值
當矢相對於半徑很小時,可以使用以下公式來近似計算
參見
*弦 (幾何)
*弧
*弓形
參考文獻
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