微分叠*是代数几何中的代数叠在微分几何中的类似物，可描述为微分流形上的叠，也可描述为森田等价下的李群胚。

微分叠很适合处理有奇点的空间（如轨形、叶空间、商），它们自然出现在微分几何中，且不是可微流形。例如，微分叠在叶状结构、泊松流形和扭K理论中都有应用。

定义
定义1（由广群纤维化）
回想在广群中纤维化的范畴（或称广群纤维化），包含范畴\mathcal{C}、到微分流形范畴的函子\pi: \mathcal{C} \to \mathrm{Mfd}，并满足

\mathcal{C}是纤维范畴，即对任意对象u\in\mathcal{C}和任意箭头V \to U\ \in\mathrm{Mfd}，都有箭头v \to u，在V \to U上；

对\mathrm{Mfd}中的任意交换三角W \to V \to U及W \to U上的任意箭头w \to u、V \to U上的v \to u，在W \to V上存在唯一的箭，使三角w \to v \to u交换。

这些性质确保\forall U\in \mathrm{Mfd}，都可以定义其纤维\pi^{-1}(U)或\mathcal{C}_U，作为\mathcal{C}的子范畴，由\mathcal{C}在U上的所有对象和在id_U上的所有态射组成。根据这构造，\pi^{-1}(U)是广群。叠是满足胶合性质的广群纤维，用下降表述。

任何流形X都定义了其 F_X = \mathrm{Hom}_{\mathrm{Mdf}} (-, X)，对象是流形U与光滑映射f: U \to X组成的对子(U,f)；则F_X \to \mathrm{Mdf}, (U,f) \mapsto U是广群纤维，实际上也是叠。广群纤维的态射\mathcal{C} \to \mathcal{D}若满足以下条件，则称作可表浸没：

• 对流形U和任意态射F_U \to \mathcal{D}，纤维积\mathcal{C} \times_{\mathcal{D}} F_U可表，即（对某个流形Y，）与作为广群纤维的F_V同构；
• 诱导光滑映射V \to U是浸没。

对流形X，微分叠是叠\pi: \mathcal{C} \to \mathrm{Mfd}与特殊的可表浸没F_X \to \mathcal{C}（上述每个浸没V \to U都需要是满射）。映射F_X \to \mathcal{C}称作叠X的图集、呈现或覆叠。

定义2（由2-函子）
回想范畴\mathcal{C}上（广群的）预叠（也称作2-预层），是2-函子 X: \mathcal{C}^\text{opp} \to \mathrm{Grp}，其中\mathrm{Grp}是（集合论）广群的2-范畴、及其间的态射和自然变换。叠是满足胶合性质的预叠（类似层满足的胶合性质）。要精确说明这性质，需要定义景上的（预）叠，即配备了格罗滕迪克拓扑的范畴。

所有对象M \in \mathrm{Obj}(\mathcal{C})定义了叠\underline{M} := \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(-,M)，与另一对象N \in \mathrm{Obj}(\mathcal{C})关联，形成态射N\to M的广群\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(N,M)。现有叠X: \mathcal{C}^\text{opp} \to \mathrm{Grp}，若有对象M \in \mathrm{Obj}(\mathcal{C})与叠的态射\underline{M} \to X（常称作叠X的图集、呈现或覆叠）满足以下性质，则称其几何的：

• 态射\underline{M} \to X可表，即\forall Y\in \mathcal{C}和任何态射Y \to X，纤维积\underline{M} \times_X \underline{Y}同构于作为叠的\underline{Z}（对某对象Z）；
• 诱导态射Z \to Y满足取决于范畴\mathcal{C}的范畴（如对流形，是要满足浸没。

微分叠是\mathcal{C} = \mathrm{Mfd}（微分流形范畴，视作具有通常开覆叠拓扑的景）上的叠，即2-函子X: \mathrm{Mfd}^\text{opp} \to \mathrm{Grp}，其也满足几何性，即承认上面定义的图集\underline{M} \to X。

注意，将\mathrm{Mfd}换成仿射概形范畴，就恢复到标准代数叠概念。相似地，把\mathrm{Mfd}换成拓扑空间范畴，就得到拓扑叠定义。

定义3（由森田等价）
回想李群胚，包含两微分流形G、M、两满射浸没s,t: G \to M、偏乘法映射m: G \times_M G \to G、单位映射u: M \to G、逆映射i: G \to G，满足类似群的相容性。

两个李群胚G \rightrightarrows M、H \rightrightarrows N间若有主双丛P，即有主右H丛P \to M、主左G丛P \to N，使得对P的两作用交换，则称G、*H森田等价。森田等价是李群胚间的等价，比同构弱，但足以保留许多几何性质。

微分叠记作[M/G]，是某李群胚G \rightrightarrows M的森田等价类。

定义1、2的等价性
任何纤维范畴\mathcal{C} \to \mathrm{Mdf}都定义了2-层X: \mathrm{Mdf}^{opp} \to \mathrm{Grp}, U \mapsto \pi^{-1}(U)。反过来，任何预叠X: \mathrm{Mdf}^\text{opp} \to \mathrm{Grp}给出了范畴\mathcal{C}，其对象是流形U与对象x \in X(U)的对子(U,x)，态射是映射\phi: (U,x) \to (V,y)，使X (\phi) (y) = x。这样的\mathcal{C}配备函子\mathcal{C} \to \mathrm{Mdf}, (U,x) \mapsto U后，成为纤维范畴。

定义1、2中叠的胶合性质等价，同样，定义1中的图集诱导了定义2中的图集，反之亦然。

示例

• 任何流形M定义了微分叠\underline{M} := \mathrm{Hom}_{\mathrm{Hom}}(-,M)，由恒等映射\underline{M} \to \underline{M}平凡地表示。叠\underline{M}对应单位广群u(M) \rightrightarrows M的森田等价类。
• 李群G定义了微分叠BG，将任意流形N发送到N上的G-主丛的范畴，由平凡叠态射\underline{pt} \to BG表示，将一点发送到G的分类空间上的通用G-丛。叠BG对应G \rightrightarrows \{ \}的森田等价类，视作点上的李群胚（即任意具有迷向群G*的传递李群胚的森田等价类）。
• 流形M上的叶状结构\mathcal{F}由其叶空间定义了微分叠，对应完整广群\mathrm{Hol} (\mathcal{F}) \rightrightarrows M的森田等价类。
• 轨形都是微分叠，因为其是具有离散迷向的紧合李群胚（紧合李群胚的迷向是紧的，所以有限）的森田等价类。

商微分叠
给定M上的李群作用a: M \times G \to M，其商（微分）叠是代数几何中商（代数）叠的可微部分。其定义为与流形X、主G-丛范畴P \to X和G-等价映射\phi: P \to M相联系的叠[M/G]，是由叠态射\underline{M} \to [M/G]表示的微分叠，在任意流形X上的定义如下：

\underline{M}(X) = \mathrm{Hom}(X,M) \to M/G, \quad f \mapsto (X \times G \to X, \phi_f)

其中\phi_f: X \times G \to M是G-等价映射\phi_f = a \circ (f \circ \mathrm{pr}_1, \mathrm{pr}_2): (x,g) \mapsto f(x) \cdot g。

参考文献
外部链接
*http://ncatlab.org/nlab/show/differentiable+stack