位移場

力學中的位移場是指物體當中的所有點，其位移向量所組成的向量場。位移向量以一個點或是粒子原來的位置為準，標明其新的位置。例如，固體形變的效果就可以用位置場來表示。
公式
在考慮位移之前，需要定義形變之前的狀態。此狀態下，所有點的座標都知道，而且可以用以下函數描述：
\vec{R}_0: \Omega \to P
其中
*\vec{R}_0是位移向量
*\Omega是物體的所有點
*P是物體的所有點在空間中的位置。

此一狀態也常常是沒有外力的狀態。

給定物體的其他狀態，其中所有點的座標可以用\vec{R}_1來描述，則二個物體狀態之間的位移場為：
\vec{u} = \vec{R}_1 - \vec{R}_0
其中\vec{u}是位移場，物體的每一個點都有一個對應的位移向量。

位移分量
物體的位移可以分為二個分量：剛體位移以及形變。

• 剛體位移包括物體的平移或旋轉，物體的形狀、大小都維持不變。
• 形變表示物體形狀或大小的變化，從未形變的組態\kappa_0(\mathcal B)變成形變後的組態\kappa_t(\mathcal B)。

連續體組態的變化可以用位移場來描述。位移場是物體中所有點的位移向量組合成的場，可以找到形變後組態和形變前組態之間的關係。物體中二點之間的距離改變，若且唯若物體出現形變。若物體有位移，但沒有形變，即為剛體運動。

位移梯度張量
依照Lagrange描述法及Eulerian描述法，可以定義兩種位移梯度張量。

粒子的位移可以表示為下式。未變形組態P_i的粒子，在變形組態p_i，其位移向量為p_i - P_i，以下表示為u_i或U_i。

物質坐標（Lagrangian描述法）
用\mathbf{X}代替P_i，用\mathbf{x}代替p_i\,\!，這二個都是從坐標系統原點到對應點的向量，可得位移向量的Lagrangian描述法：
\mathbf u(\mathbf X,t) = u_i \mathbf e_i
其中\mathbf e_i是定義空間（）坐標系統基的正交單位向量。

若用物質坐標表示位移場，\mathbf u會是\mathbf X的函數，位移場是：
\mathbf u(\mathbf X, t) = \mathbf b(t)+\mathbf x(\mathbf X,t) - \mathbf X \qquad \text{or}\qquad u_i = \alpha_{iJ} b_J + x_i - \alpha_{iJ} X_J
其中\mathbf b(t)是表示剛體移動的位移向量。

位移向量相對物質坐標的偏导数可得物質位移梯度張量\nabla_{\mathbf X} \mathbf u\,\!。可得

\nabla_{\mathbf X}\mathbf u = \nabla_{\mathbf X}\mathbf x - \mathbf R = \mathbf F - \mathbf R \qquad \text{or} \qquad \frac{\partial u_i}{\partial X_K} = \frac{\partial x_i}{\partial X_K} - \alpha_{iK} = F_{iK} - \alpha_{iK}
其中\mathbf F是物質位移梯度張量，而\mathbf{R}為旋轉。

空間坐標（Eulerian描述法）
在Eulerian描述法下，未變形組態的粒子P，延伸到其變形組態的向量為位移向量：
\mathbf U(\mathbf x,t) = U_J\mathbf E_J
其中\mathbf E_i是定義物質坐標系統的基的正交單位向量。

若用空間坐標表示位移場，\mathbf U會是\mathbf x的函數，位移場是：
\mathbf U(\mathbf x, t) = \mathbf b(t) + \mathbf x - \mathbf X(\mathbf x,t) \qquad \text{or}\qquad U_J = b_J + \alpha_{Ji} x_i - X_J

空間導數，也就是位移向量相對空間坐標的偏导数，即為空間位移梯度張量\nabla_{\mathbf x} \mathbf U\,\!，可得

\nabla_{\mathbf x}\mathbf U = \mathbf R^{T} - \nabla_{\mathbf x}\mathbf X = \mathbf R^{T} -\mathbf F^{-1} \qquad \text{or} \qquad \frac{\partial U_J}{\partial x_k} = \alpha_{Jk} - \frac{\partial X_J}{\partial x_k} = \alpha_{Jk} - F^{-1}_{Jk} \,,
其中\mathbf F^{-1} = \mathbf H空間位移梯度張量。
物質坐標和空間坐標的關係
\alpha_{Ji}是物質坐標和空間坐標的單位向量\mathbf E_J及\mathbf e_i\,\!的方向餘弦，因此
\mathbf E_J \cdot \mathbf e_i = \alpha_{Ji} = \alpha_{iJ}

u_i和U_J的關係為
u_i=\alpha_{iJ}U_J \qquad \text{or} \qquad U_J=\alpha_{Ji} u_i

已知
\mathbf e_i = \alpha_{iJ} \mathbf E_J
因此
\mathbf u(\mathbf X, t) = u_i\mathbf e_i = u_i(\alpha_{iJ}\mathbf E_J) = U_J \mathbf E_J = \mathbf U(\mathbf x, t)

結合變形組態以及未變形組態的坐標系統
常常會疊合變形組態及未變形組態的坐標系統，是在\mathbf b = 0\,\!下的結果，而方向餘弦變成克罗内克δ函数
\mathbf E_J \cdot \mathbf e_i = \delta_{Ji} = \delta_{iJ}

在材料（未變形）的坐標裡，位移可以表示為：
\mathbf u(\mathbf X, t) = \mathbf x(\mathbf X,t) - \mathbf X \qquad \text{or}\qquad u_i = x_i - \delta_{iJ} X_J

在空間（已變形）的坐標裡，位移可以表示為：
\mathbf U(\mathbf x, t) = \mathbf x - \mathbf X(\mathbf x,t) \qquad \text{or}\qquad U_J = \delta_{Ji} x_i - X_J

相關條目
*應力
*应变 (物理学)

參考資料