提升指數引理

在初等數論中，指数提升引理（，又稱LTE引理或升冪引理）給出一些形如 x^n \pm y^n 的整數所含的質因數 p 的次數，即其p進賦值\nu_p(x^n \pm y^n)。

背景
提升指數引理的起源並不明確。該引理目前的形式和名稱也只是在過去10至20年内引起人們的關注。但高斯已經知道這個引理的證明中的幾個關鍵思想，并在他的《算术研究》中引用。儘管該引理主要應用在数学奥林匹克竞赛中，它有時也用於數學研究，例如橢圓曲線。

定理內容
对于任意整数 x, y，正整数 n，和素数 p 使得 p \nmid x，p \nmid y，有下述的公式：

• p 為奇數時：

** 如果 p \mid x-y ，那麼\nu_p(x^n-y^n) = \nu_p(x-y)+\nu_p(n) 。
** 如果 n 是奇數并且 p \mid x+y ，那麼 \nu_p(x^n+y^n) = \nu_p(x+y)+\nu_p(n) 。

• p = 2 時 :

** 如果 2 \mid x-y 且 n 為偶數，那麼 \nu_2(x^n-y^n) = \nu_2(x-y)+\nu_2(x+y)+\nu_2(n)-1 。
** 如果 2 \mid x-y 且 n 為奇數，那麼 \nu_2(x^n-y^n) = \nu_2(x-y) 。（可以從下的一般情況得出）
** 推論：
*** 如果 4 \mid x-y ，那 \nu_2(x+y)=1 因此有 \nu_2(x^n-y^n) = \nu_2(x-y)+\nu_2(n) 。

• 對任意質數 p ：

** 如果 \gcd(n,p) = 1 且 p \mid x-y ，那麼 \nu_p(x^n-y^n) = \nu_p(x-y) 。
** 如果 \gcd(n,p) = 1 , p \mid x+y 且 n 為奇數，那麼 \nu_p(x^n+y^n) = \nu_p(x+y) 。

參考資料