倒向随机微分方程

倒向随机微分方程（BSDE）是带有终点条件的随机微分方程，其解要根据底层滤波进行调整。BSDE自然地出现在各种应用中，如随机控制、金融数学与非线性费曼-卡茨公式。

背景
1973年让-米歇尔·比斯姆提出了BSDE线性情形，1990年法国学者和中国学者彭实戈合作发表的论文中提出BSDE非线性情形，线性是广泛的非线性中的一特殊形式。

数学框架
固定终点时刻T>0与概率空间(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})。令(B_t)_{t\in [0,T]}为布朗运动，其自然滤波(\mathcal{F}_t)_{t\in [0,T]}。BSDE是积分方程，其类型为

{{NumBlk|:|Y_t = \xi - \int_t^T f(s,Y_s,Z_s) \mathrm{d}s - \int_t^T Z_s \mathrm{d}B_s,\quad t\in[0,T],|}}

其中f:[0,T]\times\mathbb{R}\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}称作BSDE的生成器，终点条件\xi是\mathcal{F}_T-可测随机变量，解(Y_t,Z_t)_{t\in[0,T]}包含随机过程(Y_t)_{t\in[0,T]}、(Z_t)_{t\in[0,T]}，其适应于过滤(\mathcal{F}_t)_{t\in [0,T]}。

例子
在f\equiv 0情形下，BSDE ()简化为

{{NumBlk|:|Y_t = \xi - \int_t^T Z_s \mathrm{d}B_s,\quad t\in[0,T].|}}

若\xi\in L^2(\Omega,\mathbb{P})，则根据鞅表示定理，存在唯一的随机过程(Z_t)_{t\in [0,T]}使Y_t = \mathbb{E} [ \xi | \mathcal{F}_t ]、Z_t满足BSDE ()。

另见

• 鞅表示定理
• 随机控制
• 随机微分方程

参考文献
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