反向欧拉法

数值分析与科学计算中，反向欧拉法或隐式欧拉法是求解常微分方程最基本的数值方法之一。其类似于（标准）欧拉法，不过是一种隱式方法。反向欧拉法的时间误差为一阶。

描述
考虑常微分方程

: \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t} = f(t,y)
有初值 y(t_0) = y_0. 此处函数f与初值数据t_0、y_0均未知；函数y取决于实变量t，同样未知。数值方法产生一个序列 y_0, y_1, y_2, \ldots ，使 y_k 近似于 y(t_0+kh) ，其中 h 称为步长。

反向欧拉法计算近似值的方法是
: y_{k+1} = y_k + h f(t_{k+1}, y_{k+1}).
异于（正向）欧拉法，后者用的是 f(t_k, y_k) 而非f(t_{k+1}, y_{k+1})。

反向欧拉法是一种隐式方法：新近似值 y_{k+1} 在方程两侧都出现，因此该方法要求解未知 y_{k+1} 的代数方程。对非刚性问题，这可采用定点迭代法：
: y_{k+1}^{[0]} = y_k, \quad y_{k+1}^{[i+1]} = y_k + h f(t_{k+1}, y_{k+1}^{[i]}).
若序列收敛（在给定精度内），则该方法会将其极限作为新的近似
y_{k+1} 。

推广与改进
反向欧拉法是（前向）欧拉法的一种变体。其他变体还有半隐式欧拉法和指数欧拉法。

反向欧拉法可视为1阶段的龙格-库塔法，可用Butcher表描述：
:
\begin{array}{c|c}
1 & 1 \\
\hline
& 1 \\
\end{array}

该方法也可看作是1步的线性多步法，是Adams–Moulton法族中的第一个方法，也是后向微分法的第一个方法。

另见
*克兰克-尼科尔森方法

注释
参考文献

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