GPY篩法

GPY篩法（Goldston-Pintz-Yıldırım sieve）是一種篩法，這種篩法是塞爾伯格篩法的一種帶有一般、多維篩選權重的變體。這種篩法已為解析數論的研究帶來多項突破。

這種篩法以、和這三位數學家為名。他們在2005年時以此篩法證明說根據質數定理，可推出存在有無限多的質數組，其間隔任意地小於質數的平均間隔。

張益唐後來修改此篩法，以證明說兩個相隔質數間出現無限多次的最小間隔的有限界限為何。之後詹姆斯·梅纳德（他把上述的界限降到600）及陶哲軒都曾修改此篩法。

GPY篩法
表記
首先固定k\in \N，之後定義以下表記：
*\mathbb{P}是質數集合，且1_{\mathbb{P}}(n)是這集合的特徵方程。
*\Lambda(n)是馮·曼戈爾特函數。
*\omega(n)是用以計算n的不同質因數個數的。
*\mathcal{H}=\{h_1,\dots,h_k\}是一組相異的非負整數h_i\in\Z_+\cup \{0\}的集合。
*\theta(n)是另一個關於質數的特徵函數，其定義如下：
::\theta(n)=\begin{cases} \log(n) & \text{if }n\in \mathbb{P}\\ 0 & \text{else.}\end{cases}
: 其中\theta(n)=\log((n-1)1_{\mathbb{P}}(n)+1)。
對於\mathcal{H}有以下定義：
*\mathcal{H}(n):=(n+h_1,\dots,n+h_k)，
*P_{\mathcal{H}}(n):=(n+h_1)(n+h_2)\cdots (n+h_k)
*\nu_p(\mathcal{H})是\mathcal{H}模p的相異同餘類個數。像例如因為\{0,2,4\}\stackrel{\pmod{3}}{=}\{0,1,2\}且\{0,2\}\stackrel{\pmod{3}}{=}\{0,2\}之故，因此有\nu_3(\{0,2,4\})=3以及\nu_3(\{0,2\})=2。
假若對所有的p\in \mathbb{P}而言，都有\nu_p(\mathcal{H})的話，則稱\mathcal{H}為「可及的」（admissible）。

構造
設\mathcal{H}=\{h_1,\dots,h_k\}為「可及的」，並考慮以下篩函數（sifting function）：
:\mathcal{S}(N,c;\mathcal{H}):=\sum\limits_{n=N+1}^{2N}\left(\sum\limits_{h_i\in \mathcal {H}}1_{\mathbb{P}}(n+h_i)-c\right)w(n)^2,\quad w(n)\in \R,\quad c>0.
那麼對任意的n\in [N+1,2N]而言，這函數即是計算扣掉某個門檻c之後，形如n+h_i的質數的個數的函數，故在\mathcal{S}>0的情況下，有某數n使得至少\lfloor c \rfloor +1是\mathcal{H}(n)中的質數。

由於1_{\mathbb{P}}(n)的解析性質沒那麼好之故，因此可改用下列的篩函數：
:\mathcal{S}(N;\mathcal{H}):=\sum\limits_{n=N+1}^{2N}\left(\sum\limits_{h_i\in \mathcal{H}}\theta(n+h_i)-\log(3N)\right)w(n)^2.
由於\log(N)且c=\log(3n)之故，我們僅在存在n+h_i及n+h_j這兩個質數的狀況下，有\mathcal{S}>0。我們接下來要做的，就是尋找權重函數w(n)以便能測得。

權重的派生
一個權重函數的可能候選，是一般化的馮·曼戈爾特函數：
:\Lambda_k(n)=\sum\limits_{d\mid n}\mu(d)\left(\log\left(\frac{n}{d}\right)\right)^k,
這函數有如次的性質：若\omega(n)>k，則\Lambda_k(n)=0。雖說這函數也會測得形式為質數冪的因子，但在應用中，這些因子可在僅造成可忽略誤差的狀況下移除。

GPY篩法
GPY篩法有下列形式：
:\mathcal{S}(N;\mathcal{H},\ell):=\sum\limits_{n=N+1}^{2N}\left(\sum\limits_{h_i\in \mathcal{H}}\theta(n+h_i)-\log(3N)\right)\Lambda_R(n;\mathcal{H},\ell)^2,\qquad |\mathcal{H}|=k
其中
:\Lambda_R(n;\mathcal{H},\ell)=\frac{1}{(k+\ell)!}\sum\limits_{\begin{array}{c} d\mid P_{\mathcal{H}}(n)\\ d\leq R \end{array}}\mu(d)\left(\log\left(\frac{R}{d}\right)\right)^{k+\ell},\quad 0\leq \ell\leq k.

Goldston、Pintz及Yıldırım三氏對主定理的證明
在考慮(\mathcal{H}_1,\ell_1, k_1)、(\mathcal{H}_2,\ell_2, k_2)以及1\leq h_0\leq R並定義M:=k_1+k_2+\ell_1+\ell_2的情況下，Goldston、Pintz及Yıldırım三氏在他們的論文中，以兩個定理證明了在合適的條件下，以下兩個漸近形式成立。這兩個形式分別為
:\sum\limits_{n\leq N}\Lambda_R(n;\mathcal{H}_1,\ell_1)\Lambda_R(n;\mathcal{H}_2,\ell_2) = C_1\left(\mathcal{S}(\mathcal{H}^{i})+o_M(1)\right)N
以及
:\sum\limits_{n\leq N}\Lambda_R(n;\mathcal{H}_1,\ell_1)\Lambda_R(n;\mathcal{H}_2,\ell_2)\theta(n+h_0)
= C_2\left(\mathcal{S}(\mathcal{H}^j)+o_M(1)\right)N
其中C_1,C_2是兩個常數，\mathcal{S}(\mathcal{H}^{i})及\mathcal{S}(\mathcal{H}^{j})是兩個奇異級數（singular series），其描述在此省略。

最後我們可將此結果套用在\mathcal{S}之上，以得到Goldston、Pintz及Yıldırım三氏「存在有無限多的質數組，其間隔任意地小於質數的平均間隔」的結果。

註解