在常微分方程的数值计算中，几何积分是一种保留微分方程的流的精确几何特性的数值方法。
以摆为例
可考虑单摆运动以引出几何积分的研究。
设摆锤质量为m=1，摆杆长度为\ell=1。设重力加速度为g=1。用q(t)表示杆偏移垂直方向的角位移，并用p(t)表示摆的动量，则系统的哈密顿量（动能与势能之和）为
:H(q,p) = T(p)+U(q) = \frac{1}{2}p^2 - \cos q,
其给出哈密顿方程
:(\dot q,\dot p) = (\partial H / \partial p, -\partial H / \partial q ) = (p,-\sin q). \,
很自然，可将所有q的位形空间Q看做单位圆\mathbb S^1，这样(q,p)就位于圆柱体\mathbb S^1\times\mathbb R上。取(q,p)\in\mathbb R^2只是因为(q,p)空间会更方便绘制。定义z(t) = (q(t),p(t))^{\mathrm T}、f(z) = (p,-\sin q)^{\mathrm T}。让我们用一些简单的数值方法对这个系统进行积分。像往常一样，选择常数步长h，对任意非负整数k记z_k:=z(kh)。
我们用以下方法：
: z_{k+1} = z_k + hf(z_k) \, （显式欧拉）；
: z_{k+1} = z_k + hf(z_{k+1}) \, （隐式欧拉）；
: z_{k+1} = z_k + hf(q_k,p_{k+1}) \, （辛欧拉）；
: z_{k+1} = z_k + hf((z_{k+1}+z_k)/2) \, （隐式中点法则）。
（注意，辛欧拉法用显式欧拉法处理q，用隐式欧拉法处理p。）
观察到H在哈密顿方程的解曲线上是常数，于是可以描述系统的精确轨迹，是p^2/2 -\cos q的水平曲线。在\mathbb R^2中绘制了系统的精确轨迹和数值解。对显式、隐式欧拉法，分别取h=0.2；z0 = (0.5, 0)及(1.5, 0)；对其他两种方法，分别取h=0.3、z0 = (0, 0.7)；(0, 1.4)及(0, 2.1)。
显式（或隐式）欧拉法是从原点向外（或向内）的螺旋运动。另两种方法显示了正确的定性行为，隐式中点法则与精确解的吻合程度高于辛欧拉法。
回顾一下，具有1自由度的哈密顿系统的精确流\phi_t是保面积的，即
:\det\frac{\partial\phi_t}{\partial (q_0,p_0)} = 1 for all t.
此式很容易手动验证。对我们的单摆例子，可以发现，显式欧拉法的数值流\Phi_{{\mathrm{eE}},h}:z_k\mapsto z_{k+1}不保面积；即
:\det\frac{\partial}{\partial (q_0,p_0)}\Phi_{{\mathrm{eE}},h}(z_0)
= \begin{vmatrix}1&h\\-h\cos q_0&1\end{vmatrix}
= 1+h^2\cos q_0.
隐式欧拉法也可进行类似计算，行列式为
:\det\frac{\partial}{\partial (q_0,p_0)}\Phi_{{\mathrm{iE}},h}(z_0)
= (1+h^2\cos q_1)^{-1}.
辛欧拉法是保面积的：
:
\begin{pmatrix}1&-h\\0&1\end{pmatrix}\frac{\partial}{\partial (q_0,p_0)}\Phi_{{\mathrm{sE}},h}(z_0)
= \begin{pmatrix}1&0\\-h\cos q_0&1\end{pmatrix},
于是\det(\partial\Phi_{{\mathrm{sE}},h}/\partial (q_0,p_0)) = 1。隐式中点法则具有类似的几何特性。
总结：单摆例表明，除显式、隐式欧拉法不是解决问题的好方法外，辛欧拉法和隐式中点法则与系统的精确流非常吻合，后者更精确。而且后两种方案与精确流都保面积，是几何积分（实际上是辛积分）的两个例子。
活动标架法
活动标架法可用于构建保持ODE李对称性的数值方法。龙格-库塔法等现有方法可用活动标架法进行修改，以产生不变版本。
另见
- 能量漂移
参考文献
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