弦函數

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弦函數（），又稱全弦，是最早的三角函數之一，符號通常表示為\operatorname{crd} \theta，由古希臘數學家喜帕恰斯所定義，在三角學的早期發展中被廣泛使用，主要用於解決天文學計算的問題，現已鮮少使用，但部分的程式庫仍會提供弦函數的計算函式。
弦函數的函數值為該角在單位圓上的弦長或圓上特定圓心角 \theta 對應的弦與半徑的比值，換句話說，就是單位圓上角的終邊端點到始邊端點的距離。
弦函數與正弦函數不太一樣，但關係十分密切

定義
假設角 \theta 介於0和 \pi 弧度（180度）之間，則\operatorname{crd}\ \theta的值由圓心角 \angle AOB 構造等腰三角形\bigtriangleup OAB的底邊長\overline{A B}給出
（黃色）與正矢函數（綠色）的函數圖形]]

:的性質進行擴展定義。圖為使用公式y = \operatorname{crd}\ x = \sqrt{2-2\cos x}繪製的弦函數圖形]]

也就是說，弦長度可以透過下列等式來計算：
也就是說，托勒密全弦表所列出的值是弦函數的60倍，例如 \operatorname{crd} 60^\circ = 1，而在托勒密全弦表中，60度角所記錄的值為弦的全長——60。

弦函數與現代常用的正弦函數之關係可以看做是正弦函數代入半角公式的結果。
: \operatorname{crd}\ \theta = 2 \sin \left(\frac{\theta }{2}\right), [https://books.google.com/books?id=rNpHjqxQQ9oC&pg=PA235 pp. 235–236]}}

托勒密的弦函數
托勒密所建立的托勒密全弦表是紀錄特定圓心角 \theta^\circ在直徑120（半徑60）的圓形上所對應的弦之長度，換句話說，這個函數表所對應的函數\operatorname{chord}(\theta)與正弦函數的關係為：
:
\begin{align}
& \operatorname{chord}(\theta) = 120\sin\left(\frac{\theta^\circ} 2 \right) \\
= {} & 60 \cdot \left( 2 \, \sin\left(\frac{\pi\theta^\circ}{360} \text{ radians} \right) \right).
\end{align}

恒等式
导数
: \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta}\operatorname{crd}(\theta) = \cos\left(\frac\theta{2}\right)，（）{{#tag:ref|此等式是使用 \operatorname{crd}\ \theta =2 \sin \left(\frac{\theta }{2}\right)計算的
: \operatorname{crd}\left(3\theta\right)=3\operatorname{crd}\left(\theta\right)-\operatorname{crd}^3\left(\theta\right)
:\frac{\operatorname{crd}\ 2A}a=\frac{\operatorname{crd}\ 2B}b=\frac{\operatorname{crd}\ 2C}c
其中，a、b 和 c 為三角形的三條邊；而 A、B 和 C 則為對應邊的對角。

與其他三角函數的關係
弦函數可以透過正弦、餘弦和正矢等函數來構造：
:\operatorname{crd}\ \theta =2 \sin \left(\frac{\theta }{2}\right)
:\theta = 2\arcsin\frac{c}{2r}
其中，其中 c 是弦長、r 是圓的半徑。

相關函數
弦函數的值域範圍在0到2之間，類似的函數還有正矢函數（versin），值域範圍也在0到2之間，但函數圖形略有差異。
弦函數在範圍0到 \pi（180度）之間的圖形與正弦函數0到 \frac{\pi}{2}（90度）的形狀類似，但邊長差了1倍的縮放倍率。弦函數與其他「正」的三角函數（正弦、正切、正割、正矢）同樣是從零開始遞增的函數。

與弦函數（\operatorname{crd}\ \theta）類似的還有另一個符號——\operatorname{arc}\ \theta，用於表達指定角 \theta 對應的圓弧之弧長（）}}。
正弧與餘弧的概念早在清代就已經記載於梅文鼎的著作《平三角舉要》中了，
並且正弧和餘弧的概念與正弦、餘弦、正切、餘切、正割、餘割、正矢和餘矢並列列出，同時也給角「正角」和「餘角」的概念。

參見
*三角函數
*弦 (幾何)

註釋
參考文獻