微分方程是变量的未知函数的数学方程，将函数值与不同阶导数联系起来。矩阵微分方程包含多个函数，以向量形式堆叠在一起，并由一个矩阵将它们与导数联系起来。
例如，一阶矩阵常微分方程为
: \mathbf{\dot{x}}(t) = \mathbf{A}(t)\mathbf{x}(t)
其中\mathbf{x}(t)是基变量t的函数的n \times 1向量，\mathbf{\dot{x}}(t)是函数的一阶导，\mathbf{A}(t)是n \times n系数矩阵。
若\mathbf{A}为常数且有n个线性无关的特征向量，微分方程有如下一般解：
: \mathbf{x}(t) = c_1 e^{\lambda_1 t} \mathbf{u}_1 + c_2 e^{\lambda_2 t} \mathbf{u}_2 + \cdots + c_n e^{\lambda_n t} \mathbf{u}_n ~,
其中是A的特征值，是A相应的特征向量；为常数。
更一般地说，若\mathbf{A}(t)等于其积分\int_a^t \mathbf{A}(s)ds，则马格努斯展开降为前导阶，微分方程的一般解是
: \mathbf{x}(t)=e^{\int_a^t \mathbf{A}(s) ds} \mathbf{c} ~,
其中 \mathbf{c} 是 n \times 1 常向量。
通过使用哈密尔顿–凯莱定理和类范德蒙矩阵，这种形式化的矩阵指数解可简化为一种简单的形式。下面，我们将用普策算法（Putzer's algorithm）来展示这一方法。
矩阵系统的稳定性与稳态
矩阵方程
:\mathbf{\dot{x}}(t) = \mathbf{Ax}(t) + \mathbf{b}
当且仅当常数矩阵A的所有特征值的实部都为负，n×1参数常数向量b才稳定。
稳定时收敛到的稳态x*可置
:\mathbf{\dot{x}}^* (t)=\mathbf{0}~,
找到，因此有
:\mathbf{x}^* = -\mathbf{A}^{-1}\mathbf{b}~,
假设A可逆。
因此，原方程可用偏离稳态的齐次形式来写
: \mathbf{\dot{x}}(t)=\mathbf{A}[\mathbf{x}(t)-\mathbf{x}^*]~.
一种等效的表达是，x*是非齐次方程的一个特解，而所有解的形式都是
:\mathbf{x}_h+\mathbf{x}^* ~,
其中\mathbf{x}_h是齐次方程（b=0）的解。
双状态变量情形的稳定性
n = 2（2个状态变量）时，稳定条件为：过渡矩阵A的两个特征值均有负实部，等价于A的迹为负、行列式为正。
矩阵形式的解
\mathbf{\dot{x}}(t)=\mathbf{A}[\mathbf{x}(t)-\mathbf{x}^*]的形式解为矩阵指数形式
:\mathbf{x}(t)=\mathbf{x}^+e^{\mathbf{A}t}[\mathbf{x}(0)-\mathbf{x}^] ~,
使用多种技术中的任何一种进行评估。
计算的普策算法
给定特征值为\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n的矩阵A，
:e^{\mathbf{A}t} = \sum_{j=0}^{n-1}r_{j+1}{\left(t\right)}\mathbf{P}_{j}
其中
:\mathbf{P}_0 = \mathbf{I}
:\mathbf{P}_j = \prod_{k=1}^{j}\left(\mathbf{A}-\lambda_k \mathbf{I}\right)= \mathbf{P}_{j-1} \left(\mathbf{A}-\lambda_j \mathbf{I}\right), \qquad j=1,2,\dots,n-1
:\dot{r}_1 = \lambda_1 r_1
:r_1{\left(0\right)}=1
:\dot{r}_{j} = \lambda_j r_j + r_{j-1}, \qquad j=2,3,\dots,n
:r_j{\left(0\right)}=0, \qquad j=2,3,\dots,n
r_i (t)的方程是简单的一阶非齐次常微分方程。
注意该算法并不要求矩阵A可对角化，并绕过了通常使用的若尔当标准形的计算。
矩阵常微分方程解构示例
一阶齐次矩阵常微分方程包含两个函数x(t)、y(t)，从矩阵形式解出后有如下形式：
: \frac{dx}{dt}=a_1x+b_1y,\quad\frac{dy}{dt}=a_2x+b_2y
其中a_1、a_2、b_1、b_2可为任意标量。
高阶矩阵ODE的形式可能复杂得多。
解分解后的矩阵常微分方程
求解上述方程并找到这种特定阶次和形式的所需函数的过程大概分3步。每个步骤的简要说明如下：
*找到特征值
*找到特征向量
*找到所需函数
第三部通常是把前两步的结果代入专门形式的一般方程中，下详。
矩阵ODE已解示例
要按上述3步解矩阵ODE，并在过程中使用简单矩阵，具体来说，现在下面的一阶齐次线性ODE中找到函数、函数，都用单一自变量表示：
: \frac{dx}{dt}=3x-4y,\quad\frac{dy}{dt}=4x-7y~.
要解这个常微分方程系统，在过程中的某时刻需要一组两个初始条件（对应起点的两个状态变量）。这时先取。
第一步
第一步即找到A的特征值
: \begin{bmatrix} x'\\y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & -4\\4 & -7 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\y \end{bmatrix}~.
上面的导数记号x′等称为拉格朗日记法（由约瑟夫·拉格朗日提出，等同于前面方程里的dx/dt，这是莱布尼兹记法，得名于戈特弗里德·莱布尼茨）。
一旦两个变量的系数被写为上述矩阵形式A，就可估计特征值了。为此，可求矩阵行列式，即从上述系数矩阵中减去单位矩阵I_n乘常数，再得到特征多项式
: \det\left(\begin{bmatrix} 3 & -4\\4 & -7 \end{bmatrix} - \lambda\begin{bmatrix} 1 & 0\\0 & 1 \end{bmatrix}\right)~,
再解得其零点。
进一步简化、应用矩阵加法的基本规则，得出
: \det\begin{bmatrix} 3-\lambda & -4\\4 & -7-\lambda \end{bmatrix}~.
应用求单一2×2矩阵行列式的规则，可得下列一元二次方程
: \det\begin{bmatrix} 3-\lambda & -4\\4 & -7-\lambda \end{bmatrix} = 0
: -21 - 3\lambda + 7\lambda + \lambda^2 + 16 = 0 \,\!
可以进一步简化
: \lambda^2 + 4\lambda - 5 = 0 ~.
应用因式分解得到给定一元二次方程的两个根\lambda_1、\lambda_2
: \lambda^2 + 5\lambda - \lambda - 5 = 0
: \lambda (\lambda + 5) - 1 (\lambda + 5) = 0
: (\lambda - 1)(\lambda + 5) = 0
: \lambda = 1, -5 ~.
上面算出的\lambda_1 = 1、\lambda_2 = -5即所求A的特征值。
矩阵ODE的特征值可能是复数，求解过程的下一步及最终形式和解法可能会有巨大变化。
第二步
第二步即找到A的特征向量。
对算出的每个特征值，都有单独的特征向量。例如对第一个特征值即\lambda_1 = 1，有
: \begin{bmatrix} 3 & -4\\4 & -7 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \alpha\\\beta \end{bmatrix} = 1\begin{bmatrix} \alpha\\\beta \end{bmatrix}.
应用矩阵乘法规则简化上式，得到
: 3\alpha - 4\beta = \alpha
: \alpha = 2\beta~.
所有计算都是为了得到最后一个式子，本例中就是。现在任取一个无关紧要的小值（这样更容易处理），代入中的或（选哪个并不重要），这样就得到了一个简单的向量，就是这个特定特征值所需的特征向量。在本例中，我们取，得。用标准的向量符号来写，向量是这样的
: \mathbf{\hat{v}}_1 = \begin{bmatrix} 2\\1 \end{bmatrix}.
对第二个特征值\lambda = -5进行相同的计算，得到第二个特征向量，结果为
: \mathbf{\hat{v}}_2 = \begin{bmatrix} 1\\2 \end{bmatrix}.
第三步
最后一步是找到“隐藏”在导数背后的所求函数。有两个函数，因为微分方程涉及两个变量。
方程包含之前得到的所有信息，形式如下：
: \begin{bmatrix} x\\y \end{bmatrix} = Ae^{\lambda_1t}\mathbf{\hat{v}}_1 + Be^{\lambda_2t}\mathbf{\hat{v}}_2.
代入特征值和特征向量，得到
: \begin{bmatrix} x\\y \end{bmatrix} = Ae^{t}\begin{bmatrix} 2\\1 \end{bmatrix} + Be^{-5t}\begin{bmatrix} 1\\2 \end{bmatrix}.
简化
: \begin{bmatrix} x\\y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 1\\1 & 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} Ae^{t}\\Be^{-5t} \end{bmatrix}.
再简化，分别写出函数、的方程
: x = 2Ae^{t} + Be^{-5t}
: y = Ae^{t} + 2Be^{-5t}.
上述方程就是所求的一般函数，但只是一般形式（、的值未指定），但我们想找到它们的精确形式和解。因此现在，考虑问题的给定初始条件（即所谓初值问题）。假设给定了x(0) = y(0) = 1，是ODE的起点；条件的应用指定了常数、。从条件x(0) = y(0) = 1可以看出，时，上述方程的左式等于1，由此可构造下列线性方程组
: 1 = 2A + B
: 1 = A + 2B~.
求解这些等式，发现常数、都等于1/3。因此将这些值代入这两个函数的一般形式，就可以得到它们的精确形式
x = \tfrac{2}{3}e^{t} + \tfrac{1}{3}e^{-5t}
y = \tfrac{1}{3}e^{t} + \tfrac{2}{3}e^{-5t}~,
所求的两个函数。
使用矩阵指数
上述问题可以直接应用矩阵指数法解决。也就是说，可以说
\begin{bmatrix} x(t)\\y(t) \end{bmatrix} = \exp \left(\begin{bmatrix} 3 & -4\\4 & -7 \end{bmatrix} t\right) \begin{bmatrix} x_0(t)\\y_0(t) \end{bmatrix}
给出了（可用MATLAB的expm工具包之类，或通过对角化，并利用对角矩阵的矩阵指数与元素的指数化相等这一特性来计算）
\exp \left(\begin{bmatrix} 3 & -4\\4 & -7 \end{bmatrix} t\right) = \begin{bmatrix} 4 e^t/3 - e^{-5t}/3 & 2e^{-5t}/3 - 2e^t/3\\2e^t/3 - 2e^{-5t}/3 & 4e^{-5t}/3 - e^t/3 \end{bmatrix}
得到最终解
\begin{bmatrix} x(t)\\y(t) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 e^t/3 - e^{-5t}/3 & 2e^{-5t}/3 - 2e^t/3\\2e^t/3 - 2e^{-5t}/3 & 4e^{-5t}/3 - e^t/3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1\\1 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} x(t)\\y(t) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} e^{-5t}/3 + 2e^t/3\\ e^t/3 + 2e^{-5t}/3 \end{bmatrix}
这与之前展示的特征向量方法相同。
另见
- 齐次微分方程
- 矩阵差分方程
- 冷却定律
- 斐波那契数列
- 差分方程
- 波动方程
- 自治系统 (数学)
参考文献
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