第n個立方數指可以寫成n^3的數，當中n必為整數。立方數是邊長n的立方體的體積。作為算術用語的「立方」，表示任何數n的三次冪，可用³（Unicode字元179）來表示。
和平方數不同，立方數可存在負數。
若將立方数概念扩展到有理数，则两个立方数的比仍然是立方数，例如， (2 × 2 × 2) / (3 × 3 × 3) = 8/27 = 2/3×2/3×2/3。
若一个整数没有除了 1 之外的立方数為其因數，则称其为無立方數因數的數。
首十二個立方數為： ...（第零個是0）
雖然形狀不同，每個立方數第n個立方數同時都是第n個六角錐數，即首n個中心六邊形數之和。
立方數和
首n個正立方數之和為\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2，即第n個三角形數的平方
每個整數均可表示成9個或以下的正立方數之和。（華林問題）
1939年，狄克森證明只有23和239需要用9個正立方數的和來表示。
亞瑟·韋伊費列治證明只有15個整數須用8個：15, 22, 50, 114, 167, 175, 186, 212, 231, 238, 303, 364, 420, 428, 454 （）
的士數和士的數都指最小能表示成兩個立方數之和的數，但的士數的必須為正數，士的數則無此限。（見1729）
只有一組連續三個立方數之和亦是立方數，就是3, 4, 5的立方，其和等於6的立方。
在十进制，除了1之外，僅有4個的正整數其數字立方之和等同它本身，它們為153, 370, 371, 407，他們是n=3的自戀數。這4個三位數，亦可視為將它的數字分成三份，每份的立方之和，相似性質的整數有無限個，如165033, 221859, 336700等（）。
性質
*除了0以外，立方數不可能是普洛尼克數。
*除了0以外，立方數也不可能是連續若干個（至少兩個）數的積。
*除了0，1，8以外，立方數不可能是費波那契數。
*除了1以外，立方數也不可能是盧卡斯數。
*除了0，1以外，立方數不可能是佩爾數。
*除了0，1以外，立方數不可能是三角形數、五角數等多邊形數。
*除了1以外，立方數不可能是中心正方形數、中心五邊形數等中心多邊形數。
*除了1，8以外，立方數也不可能是烏拉姆數列出現的數。
*除了1，226981（61的立方）以外，立方數不可能是星數。
*除了1以外，立方數在楊輝三角形只出現二次。
*除了0000和9999以外，立方數末4四位數不可能相同
*立方數不可能是楔形數、半質數。
*0以外的立方數每一位數數字相加之和，不停重複地相加到剩一位數時必定是 1, 8, 9。
*是否在相继立方數之间存在一个素数这一命题，对1000000000000以内的数目是正确的。
*立方數是模任何整數的三次剩餘；另外，如果某個整數是模任何整數的三次剩餘，那麼它一定是立方數。
*立方數的正因數個數一定是3的倍數加1。
涉及立方数和的问题
x^3 + y^3 + z^3 = k的整数解
方程x^3 + y^3 + z^3 = 3除了有4组解(1, 1, 1), (4, 4, -5), (4, -5, 4), (-5, 4, 4)以外，已有其他整數解，是(569936821221962380720,-569936821113563493509,-472715493453327032)
方程x^3 + y^3 + z^3 = 33有整数解(8866128975287528,-8778405442862239,-2736111468807040)
方程x^3 + y^3 + z^3 = 42有整数解(-80538738812075974, 80435758145817515, 12602123297335631)
方程x^3 + y^3 + z^3 = 114是否有整数解？
其他
- 立方質數的定義為\frac{x^3-y^3}{x-y}，其中x=y+1或x=y+2。
参见
*平方数
*四次方數
*五次方數
註釋
外部链接
参考文献
评论 (0)