谱相关密度

谱相关密度 (spectral correlation density , SCD)，有时也称为循环谱密度(cyclic spectral density)或频谱相关函数(spectral correlation function)，是描述时间序列的所有频移版本对的交叉频谱密度的函数。谱相关密度仅适用于周期平稳过程，或称为循环平稳过程，普通平稳过程不具备谱相关性。谱相关被广泛用于信号检测和信号分类。谱相关密度与每个双线性时频分布密切相关，但不被认为是 Cohen 类分布。

定义
时间序列的循环自相关函数x(t)计算如下：R_x^\alpha(\tau) = \int_{-\infty}^\infty x\left(t - \frac \tau 2\right)x^\left(t + \frac \tau 2 \right) e^{-i2\pi\alpha t} \, dt其中 () 表示复数的共轭。根据Wiener-Khinchin 定理[有疑问，需讨论]，谱相关密度为：S_x^\alpha(f) = \int_{-\infty}^\infty R_x^\alpha(\tau) e^{-i2\pi f\tau} \, d\tau

估计方法
对数字信号而言，SCD 可按任意频率和时间分辨率进行估计。由于直接计算SCD具有较高的计算复杂性，为满足信号实时分析的需求，有几类较为有效的信号谱相关估计方法被提出。

目前常用的算法是 FFT 累加法 (FFT Accumulation Method, FAM) 和带状谱相关法 (Strip-Spectral Correlation Algorithm)，近日，又有一种新的快速频谱相关 (fast-spectral-correlation, FSC) 算法被提出。

FFT累加法（FAM）
在本节中，我们将介绍实际在计算机上估计SCD的方法。如使用MATLAB或Python中的NumPy库，以下步骤的实现将相当简单。

FFT累加法 (FAM) 是一种计算 SCD 的数字方法。它的输入是一组 IQ 样本矩阵，输出是复值图像（或者说是一复值矩阵），即目标 SCD。FAM输入的信号、或说是 IQ 样本矩阵 x，应为复值张量的形式，或者是尺寸为(N,)的多维数组的形式，其中数组中的每个元素都是一个 IQ 样本点。

FAM的第一步，是将所输入信号x分为多个相互重叠且长度为N'的数据帧，并将其组合成矩阵形式，记为X。

X = \begin{bmatrix}
x[0:N'] \\
x[L:L+N'] \\
x[2L:2L+N']\\
x[3L:3L+N']\\
.\\
. \\
.
\end{bmatrix}
,

其中，L两数据帧间起始位置相距的长度。为实现重叠，应有L 。X是形状为(P,N') 的张量， P取决于x能够容纳多少帧。

随后，将一形状为(N',)的窗函数a(N') ，应用于X的每一行（如汉明窗等），得到X'。

X' = \begin{bmatrix}

a(N') \\

. \\

\end{bmatrix} \otimes X
,

其中\otimes是逐元素乘法，也就是将矩阵中的每个元素分别与对应位置的窗函数相乘。接下来，要对中的每一行进行 FFT ，得到W

。

W = \begin{bmatrix}

FFT(X[0,:]) \\

FFT(X[1,:]) \\

FFT(X[2,:]) \\

. \\

\end{bmatrix}
.

就是通常称为瀑布图或频谱图的矩阵。 FAM 的下一步是校正FFT后数据帧的相位延迟。

W' = \begin{bmatrix}
W[0,:] \\
e^{j\omega L}\otimes W[1,:] \\
e^{j\omega 2L}\otimes W[2,:] \\
e^{j\omega 3L}\otimes W[3,:] \\
. \\
. \\
. \\
\end{bmatrix}
,

其中\omega

对应于 FFT 结果中的每个数字频率，是形状为(N',)

张量。

\omega = \bigg[-\pi,...,\pi-\frac{2\pi}{N'}\bigg]
.

随后，通过求经 FFT 后结果的自相关，得到形状为(P,N',N')

张量S

。

S[i,j,k] = W'[i,j]W'[i,k]^*,

其中^*表示复共轭。换言之，若记W_i = W'[i,:]是(1,N') 的矩阵，S可改写为

S[i,:,:] = W_i^HW_i
,

其中 H 表示矩阵的Hermitian （共轭转置）矩阵。接下来的一步，是将 S 沿着第一维分别进行 FFT。

S'[:,i,j] = FFT(S[:,i,j]).

S'是一个包含完整 SCD 信息的三维张量，但我们的目标是构建形状为(PN', N')的二维张量，即矩阵或着图像的形式，张量的两个维度分别对应特定频率f和循环频率\alpha。S'中所有\alpha的值可以通过张量A的到，而所有的频率值f则记录在张量F中。这里的 f \in [-.5,+.5)和\alpha \in [-1,+1)是归一化频率。

F[i,j,k] = \frac{j+k}{2N'} -.5
.

A[i,j,k] = \frac{j-k}{N'}+\bigg(i-\frac{P}{2}\bigg)\Delta \alpha.

上式中，\Delta \alpha = 1/N 。至此，SCD 可以退化为一个二位的图像或矩阵s，S'中的(f,\alpha)对都可以赋为0，有效值可以通过A和F获取。

跳过第二次 FFT 直接估计 SCD
完整计算一次 SCD 具有相当大的复杂度，复杂度的主要来源是第二轮 FFT。幸运的是，从S'估计s' SCD 的计算公式为

s' = \frac{1}{P}\sum_{i=0}^{P-1}S'[i,:,:].

为了更小的计算复杂度，我们可以通过下式，直接从S计算s'

，因为在 FFT 前或后计算FFT中所有数值的均值是等效的。

s' = \frac{1}{P}\sum_{i=0}^{P-1}S[i,:,:],

需要注意的是，s'

将看起来像真正 SCD 的 s

旋转45 度的版本。

参考文献
*

评论 (0)