根軸

根軸（）是由兩個圓唯一確定的，與兩圓連心線垂直的直線，其定義為關於兩圓的圓冪相等的點的軌跡。

性質
幾何形狀及其位置的確定
令向量\vec x、\vec m_1、\vec m_2分別為根軸上的點 P、兩圓圓心M_1、M_2的位置。則根軸的「曲線」方程為：

:(\vec x-\vec m_1)^2-r_1^2=(\vec x-\vec m_2)^2-r_2^2,
即
: 2\vec x\cdot(\vec m_2-\vec m_1)+\vec m_1^2-\vec m_2^2+r_2^2-r_1^2=0.

從右等式可知根軸是一條垂直於連心線的直線。因\vec m_1^2-\vec m_2^2+r_2^2-r_1^2內積大小僅由x在\vec m_2 -\vec m_1方向的分量決定，所以根軸是一條垂直於連心線的直線。

根軸在連心線上的垂足L與圓心M_1、M_2的距離d_1、d_2分別滿足

d_1 = \frac{d^2+{r_1}^2-{r_2}^2}{2d}\ ,\qquad d_2 = \frac{d^2+{r_2}^2-{r_1}^2}{2d},

其中 d = |M_1 M_2|.

如果兩圓相交，則根軸為它們交點的連線；如果兩圓相切，則根軸為它們的公切線。

根心
定義
三個圓能畫出三條根軸，這三條根軸交於一點，稱為三個圓的根心，若三個圓的圓心共線，則其根心為垂直於連心線方向上的無窮遠點。

存在性的證明
考慮三圓Q_1、Q_2、Q_3兩兩構成的三條根軸。令P為Q_1、Q_2根軸以及Q_1、Q_3根軸的交點。有
:\operatorname{Pow}_{Q_1}(P)=\operatorname{Pow}_{Q_2}(P)，\operatorname{Pow}_{Q_1}(P)=\operatorname{Pow}_{Q_3}(P)，

其中\operatorname{Pow}_{Q_i}(P)表示點P關於圓Q_i的冪。

則知點P關於Q_2和Q_3的圓冪都相等，因此它在第三條根軸上，換言之，三條根軸共點，存在根心。

參考資料
外部鏈結
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