耿贝尔分布

{{Infobox 機率分佈|name=Gumbel|type=density|pdf_image=|cdf_image=|parameters=\mu, location (real)
\beta>0, scale (real)|support=x\in\mathbb{R}|pdf=\frac{1}{\beta}e^{-(z+e^{-z})}
其中z=\frac{x-\mu}{\beta}|cdf=e^{-e^{-(x-\mu)/\beta}}|mean=\mu + \beta\gamma
其中\gamma是Euler–Mascheroni常数|median=\mu - \beta\ln(\ln 2)|mode=\mu|variance=\frac{\pi^2}{6}\beta^2|skewness=\frac{12\sqrt{6}\,\zeta(3)}{\pi^3} \approx 1.14|kurtosis=\frac{12}{5}|entropy=\ln(\beta)+\gamma+1|mgf=\Gamma(1-\beta t) e^{\mu t}|char=\Gamma(1-i\beta t) e^{i\mu t}|notation=\text{Gumbel}(\mu, \beta)}}

在概率论和统计学中，耿贝尔分布（Gumbel分布，也称为I 型广义极值分布）用于对各种分布的多个样本的最大值（或最小值）的分布进行建模。

如果有过去十年的水位最大值列表，则此分布可用于表示特定年份河流最高水位的分布。它有助于预测发生极端地震、洪水或其他自然灾害的可能性。耿贝尔分布表示最大值分布的潜在适用性与极值理论有关，这表明如果基础样本数据的分布是正态或指数类型，它可能是有用的。本文使用耿贝尔分布对最大值的分布进行建模。要对最小值建模，请使用原始值的负值。

耿贝尔分布是广义极值分布（也称为 Fisher-Tippett 分布）的一个特例。它也称为对数Weibull 分布和双指数分布（该术语有时也用于指代拉普拉斯分布）。它与Gompertz分布有关：在原点附近，并限制在正半线上时，就得到了 Gompertz 函数。

在多项式logistic回归模型的潜变量公式中——在离散选择法理论中很常见——潜在变量的误差服从 Gumbel 分布。这很有用，因为两个耿贝尔分布的随机变量的差服从logistic分布。

耿贝尔分布以Emil Julius Gumbel (1891 – 1966) 的名字命名，来自描述该分布的原始论文。

定义
耿贝尔分布的累积分布函数为

: F(x;\mu,\beta) = e^{-e^{-(x-\mu)/\beta}}.\,

标准耿贝尔分布
标准的耿贝尔分布是\mu = 0和\beta = 1时的特例，其累积分布函数为

: F(x) = e^{-e^{(-x)}}\,

概率密度函数为

: f(x) = e^{-(x+e^{-x})}.

此时，众数为 0，中位数为-\ln(\ln(2)) \approx 0.3665，均值为\gamma\approx 0.5772 （歐拉-馬斯刻若尼常數），标准差为\pi/\sqrt{6} \approx 1.2825。

对于 n>1，累积量由下式给出

: \kappa_n = (n-1)! \zeta(n)

特性
众数为 μ，中位数为\mu-\beta \ln\left(\ln 2\right)，平均值是

: \operatorname{E}(X)=\mu+\gamma\beta ,

其中 \gamma 是歐拉-馬斯刻若尼常數。

标准差 \sigma 是\beta \pi/\sqrt{6}，因此\beta = \sigma \sqrt{6} / \pi \approx 0.78 \sigma.

在众数处， x = \mu ，F(x;\mu,\beta)的值变为 e^{-1} \approx 0.37 ，与 \beta 的取值无关。

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