朗伯W函数（，又称为欧米加函数或乘积对数），是f(w)=we^w的反函数，其中e^w是指数函数，w是任意复数。对于任何复数z，都有：
:z = W(z)e^{W(z)}.
由于函数f不是单射，因此函数W是多值的（除了0以外）。如果我们把x限制为实数，并要求w是实数，那么函数仅对于x\ge\frac{1}{e}有定义，在(-\frac{1}{e},0)内是多值的；如果加上w\ge-1的限制，则定义了一个单值函数W_0(x)（见图）。我们有W_0(0)=0，W_0(-\frac{1}{e}) = -1。而在[-\frac{1}{e},0)内的w\le-1分支，则记为W_{-1}(x)，从W_{-1}(-\frac{1}{e}) = -1递减为W_{-1}(0^-) = -\infty。
朗伯W函数不能用初等函数来表示。它在组合数学中有许多用途，例如树的计算。它可以用来解许多含有指数的方程，也出现在某些微分方程的解中，例如y(t) = a y(t - 1)。
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微分和积分
朗伯 W\,函数的积分形式为
:W(x)=\frac{x}{\pi}\int_0^{\pi} \frac{\left(1-v\cot v\right)^2+v^2}{x+v\csc v \cdot e^{-v\cot v}} {\rm{d}}v,|\arg\left(x\right)|
:W(x)=\int_{-\infty}^{-\frac{1}{e}}{-\frac{1}{\pi}}\Im \left[\frac{{\rm{d}}}{{\rm{d}}x}W(x)\right]\ln \left(1-\frac{z}{x}\right){\rm{d}}x\,
若 x\not\in\left[-\frac{1}{e},0\right],k\in{\mathbb{Z}}\, ,若 x\in\left(-\frac{1}{e},0\right),k=1,\pm2,\pm3,...\,
:W_k(x)=1+\left(\ln x-1+2k\pi {{\rm{i}}}\right)e^{\frac{{\rm{i}}}{2\pi}\int_0^{\infty}\ln \frac{t-\ln t+\ln x+(2k+1)\pi{\rm{i}}}{t-\ln t+\ln x+(2k-1)\pi{\rm{i}}}\cdot\frac{{\rm{d}}t}{t+1}}=1+\left(\ln x-1+2k\pi {{\rm{i}}}\right)e^{\frac{{\rm{i}}}{2\pi}\int_0^{\infty}\ln \frac{\left(t-\ln t+\ln x\right)^2+\left(4k^2-1\right)\pi^2+2\pi\left(t-\ln t+\ln x\right){\rm{i}}}{\left(t-\ln t+\ln x\right)^2+\left(2k-1\right)^2\pi^2}\cdot\frac{{\rm{d}}t}{t+1}}\,
把被积函数的实部和虚部分离出来：
:W_k(x)=1+\left(\ln x-1+2k\pi {{\rm{i}}}\right)e^{\frac{{\rm{i}}}{2\pi}\int_0^\infty\left[\frac{1}{2}\ln\frac{\left(t-\ln t+\ln x\right)^2+\left(2k+1\right)^2\pi^2}{\left(t-\ln t+\ln x\right)^2+\left(2k-1\right)^2\pi^2}+{\rm{i}}\arctan\frac{2\pi\left(t-\ln t+\ln x\right)}{\left(t-\ln t+\ln x\right)^2+\left(4k^2-1\right)\pi^2}\right]\cdot\frac{{\rm{d}}t}{t+1}}
:{}_{W_k(x)=1+\frac{\left(\ln x-1\right)\cos\frac{1}{4\pi}\int_0^{\infty}\ln\frac{\left(t-\ln t+\ln x\right)^2+\left(2k+1\right)^2\pi^2}{\left(t-\ln t+\ln x\right)^2+\left(2k-1\right)^2\pi^2}\cdot\frac{{\rm{d}}t}{t+1}-2k\pi\sin\frac{1}{4\pi}\int_0^{\infty}\ln\frac{\left(t-\ln t+\ln x\right)^2+\left(2k+1\right)^2\pi^2}{\left(t-\ln t+\ln x\right)^2+\left(2k-1\right)^2\pi^2}\cdot\frac{{\rm{d}}t}{t+1}+{\rm{i}}\left[\left(\ln x-1\right)\sin\frac{1}{4\pi}\int_0^{\infty}\ln\frac{\left(t-\ln t+\ln x\right)^2+\left(2k+1\right)^2\pi^2}{\left(t-\ln t+\ln x\right)^2+\left(2k-1\right)^2\pi^2}\cdot\frac{{\rm{d}}t}{t+1}+2k\pi\cos\frac{1}{4\pi}\int_0^{\infty}\ln\frac{\left(t-\ln t+\ln x\right)^2+\left(2k+1\right)^2\pi^2}{\left(t-\ln t+\ln x\right)^2+\left(2k-1\right)^2\pi^2}\cdot\frac{{\rm{d}}t}{t+1}\right]}{e^{\frac{1}{2\pi}\int_0^\infty\arctan\frac{2\pi\left(t-\ln t+\ln x\right)}{\left(t-\ln t+\ln x\right)^2+\left(4k^2-1\right)\pi^2}\cdot\frac{\rm{d}t}{t+1}}}}
设 W_k(x)=u+v{\rm{i}},x=t+s{\rm{i}} ，则有 \left(u+v{\rm{i}}\right)e^{u+v{\rm{i}}}=t+s{\rm{i}} ，展开分离出实部和虚部，
e^u\left(u\cos v-v\sin v\right)=t,e^u\left(u\sin v+v\cos v\right)=s,当s=0时，易知 u=-v\cot v
:{}_{W_k(x)=\frac{\left(1-\ln x\right)\sin\frac{1}{4\pi}\int_0^{\infty}\ln\frac{\left(t-\ln t+\ln x\right)^2+\left(2k+1\right)^2\pi^2}{\left(t-\ln t+\ln x\right)^2+\left(2k-1\right)^2\pi^2}\cdot\frac{{\rm{d}}t}{t+1}-2k\pi\cos\frac{1}{4\pi}\int_0^{\infty}\ln\frac{\left(t-\ln t+\ln x\right)^2+\left(2k+1\right)^2\pi^2}{\left(t-\ln t+\ln x\right)^2+\left(2k-1\right)^2\pi^2}\cdot\frac{{\rm{d}}t}{t+1}}{e^{\frac{1}{2\pi}\int_0^\infty\arctan\frac{2\pi\left(t-\ln t+\ln x\right)}{\left(t-\ln t+\ln x\right)^2+\left(4k^2-1\right)\pi^2}\cdot\frac{\rm{d}t}{t+1}}}\cot\frac{\left(\ln x-1\right)\sin\frac{1}{4\pi}\int_0^{\infty}\ln\frac{\left(t-\ln t+\ln x\right)^2+\left(2k+1\right)^2\pi^2}{\left(t-\ln t+\ln x\right)^2+\left(2k-1\right)^2\pi^2}\cdot\frac{{\rm{d}}t}{t+1}+2k\pi\cos\frac{1}{4\pi}\int_0^{\infty}\ln\frac{\left(t-\ln t+\ln x\right)^2+\left(2k+1\right)^2\pi^2}{\left(t-\ln t+\ln x\right)^2+\left(2k-1\right)^2\pi^2}\cdot\frac{{\rm{d}}t}{t+1}}{e^{\frac{1}{2\pi}\int_0^\infty\arctan\frac{2\pi\left(t-\ln t+\ln x\right)}{\left(t-\ln t+\ln x\right)^2+\left(4k^2-1\right)\pi^2}\cdot\frac{\rm{d}t}{t+1}}}
+\frac{\left(\ln x-1\right)\sin\frac{1}{4\pi}\int_0^{\infty}\ln\frac{\left(t-\ln t+\ln x\right)^2+\left(2k+1\right)^2\pi^2}{\left(t-\ln t+\ln x\right)^2+\left(2k-1\right)^2\pi^2}\cdot\frac{{\rm{d}}t}{t+1}+2k\pi\cos\frac{1}{4\pi}\int_0^{\infty}\ln\frac{\left(t-\ln t+\ln x\right)^2+\left(2k+1\right)^2\pi^2}{\left(t-\ln t+\ln x\right)^2+\left(2k-1\right)^2\pi^2}\cdot\frac{{\rm{d}}t}{t+1}}{e^{\frac{1}{2\pi}\int_0^\infty\arctan\frac{2\pi\left(t-\ln t+\ln x\right)}{\left(t-\ln t+\ln x\right)^2+\left(4k^2-1\right)\pi^2}\cdot\frac{\rm{d}t}{t+1}}}{\rm{i}},}
:W_0(x)=1+\left(\ln x-1\right)e^{-\frac{1}{\pi}\int_0^\infty\arg\left(t-\ln t+\ln x+\pi{\rm{i}}\right)\cdot\frac{\rm{d}t}{t+1}},x>0
若 x>\frac{1}{e} ，上式还可化为W_0(x)=1+\left(\ln x-1\right)e^{-\frac{1}{\pi}\int_0^\infty\arctan\frac{\pi}{t-\ln t+\ln x}\cdot\frac{\rm{d}t}{t+1}}
由隐函数的求导法则，朗伯W\,函数满足以下的微分方程：
:z\left[1+W(z)\right]\frac{{\rm{d}}}{{\rm{d}}z}W(z)=W(z)，z\neq -\frac{1}{e}\,,
因此：
:\frac{{\rm{d}}}{{\rm{d}}z}W(z)=\frac{ W(z) }{z\left[1 + W(z)\right]}，z\neq -\frac{1}{e} \,.
函数W(x)\,，以及许多含有W(x)\,的表达式，都可以用w=W(x)\,的变量代换来积分，也就是说x=we^w\,
:\int W(x) {\rm{d}}x = x \left[ W(x)+ \frac{1}{W (x) }-1 \right] + C
:\int_0^1 W(x) {\rm{d}}x = \Omega+\frac{1}{\Omega} -2\approx 0.330366
其中\Omega為欧米加常数。
性质
1\,、z^{z^{z^{z^{z^{.^{.^{.}}}}}}}=\lim_{n \to \infty}(z \upuparrows n) = - \frac{W(-\ln z)}{\ln z}，
其中\upuparrows是高德納箭號表示法。
2\,、若z>0 \,，则\ln W(z)=\ln z-W(z)\,
泰勒级数
W_0 \,在 x=0 \,的泰勒级数如下：
:
W_0 (x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-n)^{n-1}}{n!}\ x^n = x - x^2 + \frac{3}{2}x^3 - \frac{8}{3}x^4 + \frac{125}{24}x^5 - \cdots
收敛半径为 \frac{1}{e}\, 。
加法定理
:W(x)+W(y)=W\left[\frac{xy}{W(x)}+\frac{xy}{W(y)}\right]\,
:x>0,y>0\,
複數值
實部
: \Re\left[W(x+y{\rm{i}})\right]=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-k)^{k-1}}{k!}\sqrt{(x^2+y^2)^k}\cos \left(k\arctan\frac{x}{y}\right)\, , x^2+y^2
虛部
: \Im\left[W(x+y{\rm{i}})\right]=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-k)^{k-1}}{k!}\sqrt{(x^2+y^2)^k}\sin \left(k\arctan\frac{x}{y}\right)\,, x^2+y^2
模長
:|W(x+y{\rm{i}})|=W(\sqrt{x+y})\,
模角
:\arg\left[W(x+y{\rm{i}})\right]=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-k)^{k-1}}{k!}\arctan\left[\cot(k\arctan\frac{x}{y})\right]\,, x^2+y^2
共軛值
: \overline{W(x+y{\rm{i}})}=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-k)^{k-1}}{k!}\sqrt{(x^2+y^2)^k}\left[\cos \left(k\arctan\frac{x}{y}\right)-{\rm{i}}\sin \left(k\arctan\frac{x}{y}\right)\right]\,, x^2+y^2
特殊值
:W\left(-\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\pi}{2}i
:W\left(-\frac{\ln 2}{2}\right)= -\ln 2
:W\left(-{1\over e}\right) = -1
:W\left(1\right) = \Omega=\frac{1}{\int_{-\infty}^{\infty}\frac{{\rm{d}}x}{(e^x-x)^2+\pi^2}}-1\approx 0.56714329\dots \,（欧米加常数）
:W(e) = 1\,
:W(e^{e+1}) = e\,
:W\left(\frac{1}{e^{1- \frac{1}{e}}}\right)= \frac{1}{e}
:W({\pi}e^{\pi})=\pi
:W(k{\ln k})={\ln k} (k>0)
:W({\rm{i}}\pi)=-{\rm{i}}\pi
:W(-{\rm{i}}\pi)={\rm{i}}\pi
:W({\rm{i}}\cos1-\sin1)={\rm{i}}
:W(-\frac{3}{2}{\pi})=-\frac{3}{2}{\pi}{\rm{i}}
:W(-\frac{\sqrt[7]{8}}{7}{\ln 2})=-\frac{32}{7}{\ln 2}
:W(-\frac{\sqrt{3}}{54}{\ln 3})=-\frac{9}{2}{\ln 3}
:W(-\frac{\ln 2}{4})=-4{\ln 2}
:W\left(-1\right)=\frac{e^{\frac{1}{2\pi}\int_0^\infty{1\over t+1}\arctan{2\pi\over t-\ln t}{\rm{d}}t}-\cos\left[\frac{1}{4\pi}\int_0^\infty{1\over t+1}\ln{\left(t-\ln t\right)^2\over 4\pi^2+\left(t-\ln t\right)^2}{\rm{d}}t\right]+\pi\sin\left[\frac{1}{4\pi}\int_0^\infty{1\over t+1}\ln{\left(t-\ln t\right)^2\over 4\pi^2+\left(t-\ln t\right)^2}{\rm{d}}t\right]-{\rm{i}}\left\{\pi\cos\left[\frac{1}{4\pi}\int_0^\infty{1\over t+1}\ln{\left(t-\ln t\right)^2\over 4\pi^2+\left(t-\ln t\right)^2}{\rm{d}}t\right]+\sin\left[\frac{1}{4\pi}\int_0^\infty{1\over t+1}\ln{\left(t-\ln t\right)^2\over 4\pi^2+\left(t-\ln t\right)^2}{\rm{d}}t\right]\right\}}{e^{\frac{1}{2\pi}\int_0^\infty{1\over t+1}\arctan{2\pi\over t-\ln t}{\rm{d}}t}}\approx -0.31813-1.33723{\rm{i}}
:W(-\frac{\ln k}{k})=-\ln k
:W\left[-\frac{\ln (x+1)}{x(x+1)^{\frac{1}{x}}}\right]=-\frac{x+1}{x}\ln (x+1)>,-1
应用
许多含有指数的方程都可以用W\,函数来解出。一般的方法是把未知数都移到方程的一侧，并设法化为Y= Xe^X \,的形式。
例子
;例子1
: 2^t = 5 t\,
: \Rightarrow 1 = \frac{5 t}{2^t}\,
: \Rightarrow 1 = 5 t \, e^{-t \ln 2}\,
: \Rightarrow \frac{1}{5} = t \, e^{-t \ln 2}\,
: \Rightarrow -\frac{\ln 2}{5} = ( - \, t \, \ln 2 ) \, e^{-t \ln 2}\,
: \Rightarrow -t \ln 2 = W_k \left (-\frac{\ln 2}{5} \right )\,
: \Rightarrow t = -\frac{ W_k \left ( -\frac{\ln 2}{5} \right )}{\ln 2}\,
更一般地，以下的方程
: Q^{a x + b} = c x + d \,
其中
: Q > 0 \land Q \neq 1\land c \neq 0
两边同乘: \frac{a}{c} ，
得到： \frac{a}{c} Q^{ax+b} = ax + \frac{ad}{c} \,
同除以： Q^{ax} \,，
得到： \frac{a}{c} Q^{b} = \left(ax + \frac{ad}{c} \right)Q^{-ax} \,
同除： Q^{\frac{ad}{c}} \,，
\frac{a}{c} Q^{b-\frac{ad}{c}}= \left(ax + \frac{ad}{c}\right)Q^{-\left(ax+\frac{ad}{c}\right)} \,
可以用变量代换
令 t = a x + \frac{a d}{c}
化为
: t Q^{-t} = \frac{a}{c} Q^{b-\frac{a d}{c}}
即： t \left(e^{\ln Q}\right) ^{-t} = \frac{a}{c} Q^{b-\frac{a d}{c}}
同乘： {\ln Q} \,
得出
: t{\ln Q} \cdot e^{-t \ln Q}={\ln Q} \cdot \frac{a}{c} Q^{b-\frac{a d}{c}}
故 t{\ln Q}=-W_k\left(-\frac{a\ln Q}{c}\,Q^{b-\frac{a d}{c}}\right)
带入 t= a x + \frac{a d}{c}
为
: \left(ax+\frac{ad}{c}\right){\ln Q}=-W_k\left(-\frac{a\ln Q}{c}\,Q^{b-\frac{a d}{c}}\right)
因此最终的解为
: x = -\frac{W_k\left(-\frac{a\ln Q}{c}\,Q^{b-\frac{a d}{c}}\right)}{a\ln Q} - \frac{d}{c}
若辅助方程： xe^x=-\frac{a\ln Q}{c}\,Q^{b-\frac{a d}{c}} 中，
:-\frac{a\ln Q}{c}\,Q^{b-\frac{a d}{c}} \in \left(-\infty ,-\frac{1}{e} \right) ,
辅助方程无实数解，原方程亦无实解；
若：-\frac{a\ln Q}{c}\,Q^{b-\frac{a d}{c}} \in \left\{-\frac{1}{e}\right\} \cup\mathbf [0,+\infty ) ,
辅助方程有一实数解，原方程有一实解：
: x = -\frac{W_k\left(-\frac{a\ln Q}{c}\,Q^{b-\frac{a d}{c}}\right)}{a\ln Q} - \frac{d}{c}
若: -\frac{a\ln Q}{c}\,Q^{b-\frac{a d}{c}} \in \left(-\frac{1}{e},0 \right) ,
辅助方程有二实解，设为W\left(-\frac{a\ln Q}{c}\,Q^{b-\frac{a d}{c}}\right) ，
{\rm{W}}_{-1}\left(-\frac{a\ln Q}{c}\,Q^{b-\frac{a d}{c}}\right) ，
为
x_1=-\frac{W\left(-\frac{a\ln Q}{c}\,Q^{b-\frac{a d}{c}}\right)}{a\ln Q} - \frac{d}{c}
x_2=-\frac{{\rm{W}}_{-1}\left(-\frac{a\ln Q}{c}\,Q^{b-\frac{a d}{c}}\right)}{a\ln Q} - \frac{d}{c}
;例子2
用类似的方法，可知以下方程的解
:x^x={\mathrm{t}}\, ,
为
:x=\frac{\ln{\rm{t}}}{W(\ln {\rm{t}})}\,
或
:x=\exp\left(W_k\left[\ln({\rm{t}})\right]\right).
;例子3
以下方程的解
:x \log_b {x} = a \,
具有形式
:x = \frac{a {\ln b}}{W_k\left(a {\ln b}\right)}
;例子4
:x^a-b^x=0\,
: a > 0 \, : b > 0 \, : x > 0 \,
取对数，
: a \ln x=x \ln b \,
: \frac{\ln x}{x}=\frac{\ln b}{a}\,
: e^{\frac{\ln x}{x}}=e^{\frac{\ln b}{a}} \,
: x^{\frac{1}{x}}=b^{\frac{1}{a}}\,
取倒数，
: \left(\frac{1}{x} \right)^{\frac{1}{x}}=b^{-\frac{1}{a}}\,
: \frac{1}{x} =-\frac{\ln b}{aW\left(-\frac{1}{a} \ln b\right)}\,
最终解为 : x=-\frac{a}{\ln b}W_k\left(-\frac{\ln b}{a}\right)\,
;例子5
:(ax+b)^n=u^{cx+d} \,
两边开n \,次方并除以a \,得
x+\frac{b}{a}=\frac{u^{\frac{c}{n}x+\frac{d}{n}}}{a}\left(\cos\frac{2k\pi}{n}+{\rm{i}}\sin\frac{2k\pi}{n}\right)\,
令u=e^{\ln u}\, ，
化为
x+\frac{b}{a}=\frac{e^{\frac{c\ln u}{n}x+\frac{d\ln u}{n}}}{a}\left(\cos\frac{2k\pi}{n}+{\rm{i}}\sin\frac{2k\pi}{n}\right)\,
两边同乘
-\frac{c\ln u}{n}u^{-\frac{c}{n}x-\frac{cb}{na}}\, ，
\left(-\frac{c\ln u}{n}x-\frac{cb\ln u}{na}\right)e^{-\frac{c\ln u}{n}x-\frac{cb\ln u}{na}}=-\frac{c\ln u}{na}u^{\frac{d}{n}-\frac{cb}{na}}\left(\cos\frac{2k\pi}{n}+{\rm{i}}\sin\frac{2k\pi}{n}\right)\,
最终得
x_k=-\frac{n}{c\ln u}W_k\left[-\frac{c\ln u}{na}u^{\frac{d}{n}-\frac{cb}{na}}\left(\cos\frac{2k\pi}{n}+{\rm{i}}\sin\frac{2k\pi}{n}\right)\right]-\frac{b}{a}\,
k\in{\mathbb{Z}}\,
一般化
標準的 Lambert W 函數可用來表示以下超越代數方程式的解：
: e^{-c x} = a_o (x-r) ~~\quad\qquad\qquad\qquad\qquad(1)
其中 a0, c 與 r 為實常數。
其解為 x = r +\tfrac{W\left(\frac{ce^{-c r}}{a_o}\right)}{c}
Lambert W 函數之一般化包括:
- 一項在低維空間內廣義相對論與量子力學的應用（量子引力），實際上一種以前未知的 連結 於此二區域中，如 “Journal of Classical and Quantum Gravity”所示其 (1) 的右邊式現為二維多項式 x：
: e^{-c x} = a_o (x-r_1 ) (x-r_2 ) ~~\qquad\qquad(2)
:其中 r1 和 r2 是不同實常數，為二維多項式的根。於此函數解有單一引數 x 但 ri 和 ao 為函數的參數。如此一來，此一般式類似於 “hypergeometric”（超几何分布）函數與 “Meijer G“，但屬於不同類函數。當 r1 = r2，(2)的兩方可分解為 (1) 因此其解簡化為標準 W 函數。(2)式代表著 “dilaton”（軸子）場的方程，可據此推導線性，雙體重力問題 1+1 維（一空間維與一時間維）當兩不等（靜止）質量，以及，量子力學的特徵能Delta位勢阱給不等電位於一維空間。
量子力學的一特例特徵能的分析解三體問題，亦即（三維）氢分子離子。於此 (1)（或 (2)）的右手邊現為無限級數多項式之比於 x*：
: e^{-c x} = a_o \frac{\prod_{i=1}^{\infty} (x-r_i )}{ \prod_{i=1}^{\infty} (x-s_i)} \qquad \qquad\qquad(3)
: 其中 ri 與 si 是相異實常數而 x 是特徵能和內核距離R之函數。式 (3) 與其特例表示於 (1) 和 (2) 是與一更大類型延遲微分方程。由于哈代的“虚假导数”概念，多根的特殊情况得以解决。
Lambert "W" 函數於基礎物理問題之應用並未完全即使標準情況如 (1) 最近在原子，分子，與光學物理領域可見以及黎曼假设的 Keiper-Li 准则
图象
Image:LambertWRe.png| z = Re(W0(x + i y))
Image:LambertWIm.png| z = Im(W0(x + i y))
Image:LambertWAbs.png| z = |W0(x + i y)|
Image:LambertWAll.png
计算
W函数可以用以下的递推关系算出：
:
w_{j+1}=w_j-\frac{w_j e^{w_j}-z}{e^{w_j}(w_j+1)-\frac{(w_j+2)(w_je^{w_j}-z)}
{2w_j+2}}
参考来源
外部链接
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