心脏线

心脏线，又稱心形綫，是有一个尖点的外摆线。也就是说，一个圆沿着另一个半径相同的圆滚动时，圆上一点的轨迹就是心脏线。

曼德博集合中间的图形是心脏线。

方程
在笛卡儿坐标系中，心脏线的参数方程为：

: x(t) = 2r \cos t \left (1 - \cos t \right) = 2r \left( \cos t - {1 \over 2} \left (1+ \cos 2 t \right) \right),

: y(t) = 2r \sin t \left (1 - \cos t \right) = 2r \left( \sin t - {1 \over 2} \sin 2 t \right)

其中r是圆的半径。曲线的尖点位于（r，0）。

在极坐标系中的方程为：

: \rho(\theta) = 2r(1 - \cos \theta). \

图像
这是四个朝着不同方向的心脏线。

面积
方程为

: \rho(\theta) = a(1 - \cos \theta)

的心脏线的面积为：

: A = {3\over 2} \pi a^2 ，证明如下：
:首先，因为函数图像关于x轴对称，所以只要求出当y\geq0时的面积再乘以2即可。
:然后，易知当\theta=0,\pi的时候\rho=0，因此
:A=2\int_0^{\pi}\frac{1}{2}(a(1-\cos\theta))^2d\theta=a^2(\theta-2\sin\theta+\frac{\theta}{2}+\frac{\sin2\theta}{4})\mid^{\pi}_0=\frac{3a^2\pi}{2}

参见

• 外摆线

参考文献

• [http://www.cut-the-knot.org/ctk/Cardi.shtml cut-the-knot]
• Xah Lee, [http://www.xahlee.org/SpecialPlaneCurves_dir/Cardioid_dir/cardioid.html Cardioid] (1998) *
• Jan Wassenaar, [http://www.2dcurves.com/roulette/rouletteca.html Cardioid] , (2005)