积分因子

积分因子（）是一种用来解微分方程的方法。

方法
考虑以下形式的微分方程：

:y'+a(x)y = b(x)......(1)

其中y = y(x)是x的未知函数，a(x)和b(x)是给定的函数。

我们希望把左面化成两个函数的乘积的导数的形式。

考虑函数M(x)。我们把(1)的两边乘以M(x):

:M(x)y' + M(x)a(x)y = M(x)b(x)......(2)

如果左面是两个函数的乘积的导数，那么：

:(M(x)y)' = M(x)b(x)......(3)

两边积分，得：

:y(x) M(x) = \int b(x) M(x)\,dx + C,

其中C是一个常数。于是，

:y(x) = \frac{\int b(x) M(x)\, dx + C}{M(x)}.\,

为了求出函数M(x)，我们把(3)的左面用乘法定则展开：

:(M(x)y)' = M'(x)y + M(x)y' = M(x)b(x).\quad\quad\quad

与(2)比较，可知M(x)满足以下微分方程：

:M'(x) = a(x)M(x)......(4)\,

两边除以M(x)，得：

:\frac{M'(x)}{M(x)}-a(x) = 0......(5)

等式(5)是对数导数的形式。解这个方程，得：

:M(x)=e^{\int a(x)\,dx}.

我们可以看到，M'(x) = a(x)M(x)的性质在解微分方程中是十分重要的。M(x)称为积分因子。

例子
解微分方程

:y'-\frac{2y}{x} = 0.

我们可以看到，a(x) = \frac{-2}{x}：

:M(x)=e^{\int a(x)\,dx}

:M(x)=e^{\int \frac{-2}{x}\,dx} = e^{-2 \ln x} = {(e^{\ln x})}^{-2} = x^{-2}

:M(x)=\frac{1}{x^2}.

两边乘以M(x)，得：

:\frac{y'}{x^2} - \frac{2y}{x^3} = 0
:\left(\frac{y}{x^2}\right)' = 0

或

:\frac{y}{x^2} = C

可得

:y(x) = Cx^2.

一般的应用
积分因子也可以用来解非线性微分方程。例如，考虑以下的非线性二阶微分方程：

:\frac{d^2 y}{d t^2} = A y^{2/3}

可以看到，\tfrac{d y}{d t}是一个积分因子：

:\frac{d^2 y}{d t^2} \frac{d y}{d t} = A y^{2/3} \frac{d y}{d t}.

利用复合函数求导法则，可得：

:\frac{d}{d t}\left(\frac 1 2 \left(\frac{d y}{d t}\right)^2\right) = \frac{d}{d t}\left(A \frac 3 5 y^{5/3}\right)

因此

:\left(\frac{d y}{d t}\right)^2 = \frac{6 A}{5} y^{5/3} + C_0

利用分离变量法，可得：

:\int \frac{d y}{\sqrt{\frac{6 A}{5} y^{5/3} + C_0}} = t + C_1,

这就是方程的通解。

参见

• 微分方程
• 乘法定则
• 全微分

参考文献
*Adams, R. A. Calculus: A Complete Course, 4th ed. Reading, MA: Addison Wesley, 1999.