角動量算符

在量子力學裏，角動量算符（）是一種算符，類比於經典的角動量。在原子物理學涉及旋轉對稱性（）的理論裏，角動量算符佔有中心的角色。角動量，動量，與能量是物體運動的三個基本特性。

簡介
角動量促使在旋轉方面的運動得以數量化。在孤立系統裏，如同能量和動量，角動量是守恆的。在量子力學裏，角動量算符的概念是必要的，因為角動量的計算實現於描述量子系統的波函數，而不是經典地實現於一點或一剛體。在量子尺寸世界，分析的對象都是以波函數或量子幅來描述其機率性行為，而不是命定性()行為。

數學定義
在經典力學裏，角動量 \mathbf{L}=(L_x,\ L_y,\ L_z)\,\! 定義為位置 \mathbf{r}=(x,\ y,\ z)\,\! 與動量 \mathbf{p}=(p_x,\ p_y,\ p_z)\,\! 的叉積：
:\mathbf{L}\ \stackrel{def}{=}\ \mathbf{r}\times\mathbf{p}\,\! 。

在量子力學裏，對應的角動量算符 \hat{\mathbf{L}}\,\! 定義為位置算符 \hat{\mathbf{r}}\,\! 與動量算符 \hat{\mathbf{p}}\,\! 的叉積：
:\hat{\mathbf{L}}\ \stackrel{def}{=}\ \hat{\mathbf{r}}\times\hat{\mathbf{p}}\,\! 。

由於動量算符的形式為
:\hat{\mathbf{p}}= - i\hbar\nabla\,\! 。

角動量算符的形式為
:\hat{\mathbf{L}}= - i\hbar(\hat{\mathbf{r}}\times\nabla) \,\! 。

其中，\nabla\,\! 是梯度算符。

角動量是厄米算符
在量子力學裏，每一個可觀察量所對應的算符都是厄米算符。角動量是一個可觀察量，所以，角動量算符應該也是厄米算符。讓我們現在證明這一點，思考角動量算符的 x-分量 \hat{L}_x\,\! ：
:\hat{L}_x=\hat{y}\hat{p}_z - \hat{z}\hat{p}_y\,\! 。

其伴隨算符 L_x^{\dagger}\,\! 為
:\hat{L}_x^{\dagger}=(\hat{y}\hat{p}_z - \hat{z}\hat{p}_y)^{\dagger}=\hat{p}_z^\dagger\hat{y}^{\dagger} - \hat{p}_y^+\hat{z}^{\dagger}\,\! 。
由於 \hat{y}\,\! 、\hat{z}\,\! 、\hat{p}_y\,\! 、\hat{p}_z\,\! ，都是厄米算符，
:\hat{L}_x^{\dagger}=\hat{p}_z\hat{y} - \hat{p}_y\hat{z}\,\! 。

由於 \hat{p}_z\,\! 與 \hat{y}\,\! 之間、\hat{p}_y\,\! 與 \hat{z}\,\! 之間分別相互對易，所以，
:\hat{L}_x^{\dagger}=\hat{y}\hat{p}_z - \hat{z}\hat{p}_y=\hat{L}_x\,\! 。

因此，\hat{L}_x\,\! 是一個厄米算符。類似地，\hat{L}_y\,\! 與 \hat{L}_z\,\! 都是厄米算符。總結，角動量算符是厄米算符。

再思考 \hat{L}^2\,\! 算符，
:\hat{L}^2=\hat{L}_x^2+\hat{L}_y^2+\hat{L}_z^2\,\! 。

其伴隨算符 (\hat{L}^2)^{\dagger}\,\! 為
:(\hat{L}^2)^{\dagger}=(\hat{L}_x^2+\hat{L}_y^2+\hat{L}_z^2)^{\dagger}=(\hat{L}_x^2)^{\dagger}+(\hat{L}_y^2)^{\dagger}+(\hat{L}_z^2)^{\dagger}\,\! 。

由於 \hat{L}_x^2\,\! 算符、\hat{L}_y^2\,\! 算符、\hat{L}_z^2\,\! 算符，都是厄米算符，
:(\hat{L}^2)^{\dagger}=\hat{L}_x^2+\hat{L}_y^2+\hat{L}_z^2=\hat{L}^2\,\! 。

所以，\hat{L}^2\,\! 算符是厄米算符。

對易關係
兩個算符 \hat{A}\,\! 與 \hat{B}\,\! 的交換算符 [\hat{A},\ \hat{B}]\,\! ，表示出它們之間的對易關係。

角動量算符與自己的對易關係
思考 \hat{L}_x\,\! 與 \hat{L}_y\,\! 的交換算符，

:\begin{align} \left.\right.[\hat{L}_x,\ \hat{L}_y] & = [\hat{y}\hat{p}_z - \hat{z}\hat{p}_y,\ \hat{z}\hat{p}_x - \hat{x}\hat{p}_z] \\
& =[\hat{y}\hat{p}_z,\ \hat{z}\hat{p}_x] - [\hat{z}\hat{p}_y,\ \hat{z}\hat{p}_x] - [\hat{y}\hat{p}_z,\ \hat{x}\hat{p}_z]+[\hat{z}\hat{p}_y,\ \hat{x}\hat{p}_z] \\
& =i\hbar (\hat{x}\hat{p}_y - \hat{y}\hat{p}_x) \\
& =i\hbar\hat{L}_z \\ \end{align}\,\! 。

由於兩者的對易關係不等於 0 ， L_x\,\! 與 L_y\,\! 彼此是不相容可觀察量。\hat{L}_x\,\! 與 \hat{L}_y\,\! 絕對不會有共同的基底量子態。一般而言，\hat{L}_x\,\! 的本徵態與 \hat{L}_y\,\! 的本徵態不同。

給予一個量子系統，量子態為 |\psi\rangle\,\! 。對於可觀察量算符 \hat{L}_x\,\! ，所有本徵值為 \ell_{xi}\,\! 的本徵態 |f_i\rangle,\quad i=1,\ 2,\ 3,\ \cdots\,\! ，形成了一組基底量子態。量子態 |\psi\rangle\,\! 可以表達為這基底量子態的線性組合：|\psi\rangle=\sum_i \ |f_i\rangle\langle f_i|\psi\rangle\,\! 。對於可觀察量算符 \hat{L}_y\,\! ，所有本徵值為 \ell_{yi}\,\! 的本徵態 |g_i\rangle,\quad i=1,\ 2,\ 3,\ \cdots\,\! ，形成了另外一組基底量子態。量子態 |\psi\rangle\,\! 可以表達為這基底量子態的線性組合：|\psi\rangle=\sum_i \ |g_i\rangle\langle g_i|\psi\rangle\,\! 。

根據哥本哈根詮釋，量子測量可以用量子態塌縮機制來詮釋。假若，我們測量可觀察量 L_x\,\! ，得到的測量值為其本徵值 \ell_{xi}\,\! ，則量子態機率地塌縮為本徵態 |f_i\rangle\,\! 。假若，我們立刻再測量可觀察量 L_x\,\! ，得到的答案必定是 \ell_{xi}\,\! ，量子態仍舊處於 |f_i\rangle\,\! 。可是，假若，我們改為測量可觀察量 L_y\,\! ，則量子態不會停留於本徵態 |f_i\rangle\,\! ，而會塌縮為 \hat{L}_y\,\! 的本徵態。假若，得到的測量值為其本徵值 \ell_{yj}\,\! ，則量子態機率地塌縮為本徵態 |g_j\rangle\,\! 。

根據不確定性原理，
:\Delta L_x\ \Delta L_y \ge \left|\frac{\langle[\hat{L}_x,\ \hat{L}_y]\rangle}{2i}\right|=\frac{\hbar |\langle \hat{L}_z\rangle|}{2}\,\! 。

L_x\,\! 的不確定性與 L_y\,\! 的不確定性的乘積 \Delta L_x\ \Delta L_y \,\! ，必定大於或等於 \frac{\hbar |\langle L_z\rangle|}{2}\,\! 。

L_x\,\! 與 L_z\,\! 之間，L_y\,\! 與 L_z\,\! 之間，也有類似的特性。

角動量平方算符與角動量算符之間的對易關係
思考 \hat{L}^2\,\! 與 \hat{L}_z\,\! 的交換算符，
:\begin{align}\left.\right.[\hat{L}^2,\ \hat{L}_z] & = [\hat{L}_x^2+\hat{L}_y^2+\hat{L}_z^2,\ \hat{L}_z] \\
& = \hat{L}_x\hat{L}_x\hat{L}_z - \hat{L}_z\hat{L}_x\hat{L}_x+\hat{L}_y\hat{L}_y\hat{L}_z - \hat{L}_z\hat{L}_y\hat{L}_y \\
& = \hat{L}_x(\hat{L}_z\hat{L}_x - i\hbar\hat{L}_y) - (\hat{L}_x\hat{L}_z+i\hbar\hat{L}_y)\hat{L}_x+\hat{L}_y(\hat{L}_z\hat{L}_y+i\hbar\hat{L}_x) - (\hat{L}_y\hat{L}_z - i\hbar\hat{L}_x)\hat{L}_y \\
& = 0 \\ \end{align}\,\!。

\hat{L}^2 \,\! 與 \hat{L}_z\,\! 是對易的，L^2 \,\! 與 L_z\,\! 彼此是相容可觀察量，兩個算符有共同的本徵態。根據不確定性原理，我們可以同時地測量到 L^2 \,\! 與 L_z\,\! 的本徵值。

類似地，
:[\hat{L}^2,\ \hat{L}_x] =0\,\! 、
:[\hat{L}^2,\ \hat{L}_y] =0\,\! 。

\hat{L}^2\,\! 與 \hat{L}_x\,\! 之間、\hat{L}^2\,\! 與 \hat{L}_y\,\! 之間，都分別擁有類似的物理特性。

在經典力學裏的對易關係
在經典力學裏，角動量算符也遵守類似的對易關係：
:\{L_i,\ L_j\}=\epsilon_{ijk}L_k\,\! ；

其中，\{\ ,\ \}\,\! 是帕松括號，\epsilon_{ijk}\,\! 是列維-奇維塔符號，i\,\! 、j\,\! 、k\,\! ，代表直角坐標 (x,\ y,\ z)\,\! 。

本徵值與本徵函數
採用球坐標。展開角動量算符的方程式：

:\begin{align}\hat{\mathbf{L}}
& = \frac{\hbar}{i}\hat{\mathbf{r}}\times\nabla \\
& = \frac{\hbar}{i} r\mathbf{e}_r \times \left(\mathbf{e}_r \frac{\partial}{\partial r}+\mathbf{e}_{\theta} \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial \theta}+
\mathbf{e}_{\phi} \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\phi}\right) \\
& = \frac{\hbar}{i}\left( - \mathbf{e}_{\theta}\frac{1}{\sin\theta} \frac{\partial}{\partial \phi} +\mathbf{e}_{\phi}\frac{\partial}{\partial \theta}\right) \\ \end{align}
\,\! ；

其中，\mathbf{e}_r\,\! 、\mathbf{e}_\theta\,\! 、\mathbf{e}_\phi\,\! ，分別為徑向單位向量、天頂角單位向量、與方位角單位向量。

轉換回直角坐標，
:\hat{\mathbf{L}}=\frac{\hbar}{i}\left[
\mathbf{e}_x \left( - \sin \phi\frac{\partial}{\partial \theta} - \cot\theta\cos\phi\frac{\partial}{\partial \phi}\right)
+\mathbf{e}_y\left(\cos \phi\frac{\partial}{\partial \theta} - \cot\theta\sin\phi\frac{\partial}{\partial \phi}\right)
+\mathbf{e}_z\frac{\partial}{\partial \phi}\right]
\,\! 。

其中，\mathbf{e}_x\,\! 、\mathbf{e}_y\,\! 、\mathbf{e}_z\,\! ，分別為 x-單位向量、y-單位向量、與 z-單位向量。

所以，\hat{L}_x\,\! 、\hat{L}_y\,\! 、\hat{L}_z\,\! 分別是
:\hat{L}_x=\frac{\hbar}{i}\left( - \sin \phi\frac{\partial}{\partial \theta} - \cot\theta\cos\phi\frac{\partial}{\partial \phi}\right)\,\! 、
:\hat{L}_y=\frac{\hbar}{i}\left(\cos \phi\frac{\partial}{\partial \theta} - \cot\theta\sin\phi\frac{\partial}{\partial \phi}\right)\,\! 、
:\hat{L}_z=\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial \phi}\,\! 。

角動量平方算符是
:\hat{L}^2=\hat{L}_x^2+\hat{L}_y^2+\hat{L}_z^2\,\! ；

其中，
:\begin{align}\hat{L}_x^2
& = - \hbar^2\left( - \sin \phi\frac{\partial}{\partial \theta} - \cot\theta\cos\phi\frac{\partial}{\partial \phi}\right)\left( - \sin \phi\frac{\partial}{\partial \theta} - \cot\theta\cos\phi\frac{\partial}{\partial \phi}\right) \\
& = - \hbar^2\left(\sin^2\phi\frac{\partial^2}{\partial \theta^2}+\cot\theta\cos^2\phi\frac{\partial}{\partial \theta}+\cot\theta\sin\phi\cos\phi\frac{\partial^2}{\partial \theta \partial \phi} - \csc^2\theta\sin\phi\cos\phi\frac{\partial}{\partial \phi}\right. \\
\end{align}\,\!

::\left.+\cot\theta\sin\phi\cos\phi\frac{\partial^2}{\partial \theta \partial \phi} - \cot^2\theta\sin\phi\cos\phi\frac{\partial}{\partial \phi}+\cot^2\theta\cos^2\phi\frac{\partial^2}{\partial \phi^2}\right)\,\!、

:\begin{align}\hat{L}_y^2
& = - \hbar^2\left(\cos\phi\frac{\partial}{\partial \theta} - \cot\theta\sin\phi\frac{\partial}{\partial \phi}\right)\left(\cos \phi\frac{\partial}{\partial \theta} - \cot\theta\sin\phi\frac{\partial}{\partial \phi}\right) \\
& = - \hbar^2\left(\cos^2\phi\frac{\partial^2}{\partial \theta^2}+\cot\theta\sin^2\phi\frac{\partial}{\partial \theta} - \cot\theta\sin\phi\cos\phi\frac{\partial^2}{\partial \theta \partial \phi}+\csc^2\theta\sin\phi\cos\phi\frac{\partial}{\partial \phi}\right. \\
\end{align}\,\!

::\left. - \cot\theta\sin\phi\cos\phi\frac{\partial^2}{\partial \theta \partial \phi}+\cot^2\theta\sin\phi\cos\phi\frac{\partial}{\partial \phi}+\cot^2\theta\sin^2\phi\frac{\partial^2}{\partial \phi^2}\right)\,\! 、

:\hat{L}_z^2= - \hbar^2\frac{\partial^2}{\partial \phi^2}\,\! 。

經過一番繁雜的運算，終於得到想要的方程式
:\hat{L}^2= - \hbar^2\left(\frac{\partial^2}{\partial \theta^2}+\cot\theta\frac{\partial}{\partial \theta}+(1+\cot^2\theta)\frac{\partial^2}{\partial \phi^2}\right)
= - \hbar^2\left(\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin\theta\frac{\partial}{\partial \theta}\right)+\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial \phi^2}\right)\,\! 。

滿足算符 \hat{L}^2\,\! 的本徵函數是球諧函數 Y_{\ell m}\,\! ：
:\hat{L}^2 Y_{\ell m}= \ell(\ell+1)\hbar^2 Y_{\ell m}\,\! ；

其中，本徵值 \ell\,\! 是正整數。

球諧函數也是滿足算符 \hat{L}_z\,\! 微分方程式的本徵函數：
:\hat{L}_z Y_{\ell m}= m\hbar Y_{\ell m}\,\! ；

其中，本徵值 m\,\! 是整數， - \ell \le m \le 0\,\! 。

因為這兩個算符的正則對易關係是 0 ，它們可以有共同的本徵函數。

球諧函數 Y_{\ell m}\,\! 表達為

: Y_{\ell m}(\theta,\ \phi) =(i)^{m+|m|} \sqrt{{(2\ell+1)\over 4\pi}{(\ell - m)!\over (\ell+m)!}} \, P_{\ell m} (\cos{\theta}) \, e^{im\phi}\,\! ；

其中，i\,\! 是虛數單位，P_{\ell m}(\cos{\theta})\,\! 是伴隨勒讓德多項式，用方程式定義為
:P_{\ell m}(x) = (1 - x^2)^}{dx^}P_\ell(x)\, ；

而 P_\ell(x)\,\! 是 \ell 階勒讓德多項式，可用羅德里格公式表示為：
:P_\ell(x) = {1 \over 2^\ell \ell!} {d^\ell \over dx^\ell }(x^2 - 1)^\ell 。

球諧函數滿足正交歸一性：

:\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\ Y_{\ell_1 m_1}Y_{\ell_2 m_2}\sin(\theta)d\theta d\phi=\delta_{\ell_1 \ell_2}\delta_{m_1m_2}\,\! 。
這樣，角動量算符的本徵函數，形成一組單範正交基。任意波函數 \psi(\theta,\,\phi)\,\! 都可以表達為這單範正交基的線性組合：
:\psi(\theta,\,\phi)=\sum_{\ell ,m}\ A_{\ell m}Y_{\ell m}(\theta,\,\phi)\,\! ；

其中，A_{\ell m}=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\ Y_{\ell m}^*(\theta,\,\phi)\psi(\theta,\,\phi)\sin(\theta)d\theta d\phi \,\! 。

參閱
*氫原子
*球對稱位勢
*拉普拉斯-龍格-冷次向量

參考文獻
外部連結
*圣地牙哥加州大学物理系量子力学視聽教學：[https://web.archive.org/web/20100625001650/http://physicsstream.ucsd.edu/courses/fall2003/physics130b/movies/2003-10-08_full.mov 角動量加法]