馬丁公理

在數學的集合論中，馬丁公理（Martin's axiom）是一個由和引進的公理，這公理獨立於慣常的、帶有選擇公理的策梅洛-弗蘭克爾集合論（ZFC）。這公理在連續統假設成立的狀況下成立，但也與否定連續統假設的ZFC公理系統相容。

用較不正式的講法，馬丁公理講的是任何小於連續統\mathfrak c的基數，其行為會與\aleph_0大體類似。這公理背後的想法可藉由研究羅修娃－西葛斯基引理的證明得知；而這是用以控制特定力迫論證的其中一個原則。

陳述
給定任意的基數\kappa，我們可以定義一個如下的陳述，並將這陳述給記做\operatorname{MA}(\kappa)：

對於任意滿足可數鏈條件的偏序P及任意P的稠密集的集族D而言，若D \le \kappa，則存在一個P上的濾子F，使得對於任意的d \in D而言，F \cap d非空。

由於這是一個使得 \operatorname{MA}(\mathfrak c)不成立的ZFC定理之故，因此馬丁公理可表述如下：

馬丁公理（MA）：對於任意的\kappa ，\operatorname{MA}(\kappa)成立

在這情況（應用可數鏈條件）下，一個反鏈A是P的子集，且這子集使得A的任意兩個元素不兼容（若在偏序中存在一個低於兩者的共通元素，則說兩個元素是兼容的），而這與樹等情況下的反鏈是不同的。

\operatorname{MA}(\aleph_0)為真，而這即是羅修娃－西葛斯基引理。

\operatorname{MA}(2^{\aleph_0})為假：\left[0,1\right]是一個緊緻豪斯多夫空間，因此是個可分空間並滿足可數鏈條件。這集合沒有孤立點，因此其中的點是無處稠密的；但這集合是2^{\aleph_0}=\mathfrak c這麼多的點的聯集。（也可參見下述的與\operatorname{MA}(\mathfrak c)等價的條件）

與\operatorname{MA}(\kappa)等價的陳述
以下陳述與\operatorname{MA}(\kappa)等價：

• 若X是一個滿足可數鏈條件的緊緻豪斯多夫空間，那X不會是\kappa個或更少的無處稠密集的聯集。
• 若P是一個上升的、滿足可數鏈條件的偏序集，而Y是P的餘有限子集的集族，且\left\vert Y \right\vert \le \kappa，則存在一個向上的集合A使得A會見所有Y的元素。
• 若A是一個滿足可數鏈條件的非零布爾代數而F是A的子集的集族，且\left\vert F \right\vert \le \kappa，那就存在一個布爾同態\Phi : A \rightarrow \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}，使得對於任意F中的X而言，要不有一個a \in X，使得\Phi(a) = 1，要不有個X有個上界b，使得\Phi(b) = 0

結果
馬丁公理在組合數學、數學分析跟拓樸學上有許多有其他有趣的結果：

• 在上的無原子σ-有限博雷爾測度中，\kappa個或更少的零測集依舊是零測集；不僅如此，實數集的\kappa個或更少的勒貝格測度為零的子集的聯集，其勒貝格測度為零。
• 對於一個緊緻豪斯多夫空間X而言，若\left\vert X \right\vert \le 2^{\kappa}，則這空間是序列緊緻的，也就是說這空間中的每個序列都有一個收斂子序列。
• 在\mathbb{N}上，沒有任何非主要的超濾子的基本基數會小於\kappa。
• 等價地，對於任意的x \in \beta\mathbb{N} \ \mathbb{N}，有\chi(x) \ge \kappa，此處的\chi是x的，因此\chi(\beta\mathbb{N}) \ge \kappa。
• \operatorname{MA}(\aleph_1)蘊含說滿足可數鏈條件的拓樸空間的乘積依舊滿足可數鏈條件，而這結果又蘊含說不存在。
• 若馬丁公理成立，而連續統假設不成立，那就表示存在有非自由的懷特海群（Whitehead group）；用這結果證明說懷特海問題獨立於ZFC。

後續發展
*馬丁公理的一般化版本為以及。
*謝爾頓·W·戴維斯（Sheldon W. Davis）在他的說中提出馬丁公理是受到貝爾綱定理的啟發而來的。

參考資料
延伸閱讀
*

• Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. .
• Kunen, Kenneth, 1980. Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. Elsevier. .