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決定公理

Wikipedia · 2026-05-09 维基百科 👁 1 阅读

在數學上，決定公理（Axiom of determinacy，常記做AD）是一個在1962年由和所提出的可能的集合論公理，這公理探討的是特定類型且長度為ω的二人，而決定公理聲稱，任何這類的遊戲都是，也就是這兩個玩家中其中一人有必勝策略。

他們發展出決定公理的動機是這公理的有趣結果，他們並指出這公理可在集合論的最小自然模型中成立，這模型只接受較弱版本的選擇公理，但包括了所有的實數和序數。決定公理的一些結果，可由早前由斯特凡·巴拿赫、以及莫頓·戴維斯（Morton Davis）等人證明的定理得出；而米切爾斯基與斯坦豪斯兩氏則證明了另一個結果，那就是在決定公理下，所有實數的集合都是勒貝格可測的。之後Donald A. Martin等人證明了更多重要的結果，尤其在描述集合論方面更是如此。在1988年，與總結了一長串的研究，並證明說在類似\alef_0的不可數基數存在的狀況下，米切爾斯基與斯坦豪斯兩氏原先的猜想，也就是「決定公理在集合論的最小自然模型中成立」這點是對的。

具決定性的遊戲
決定公理所談論的遊戲具有特定的定義，而其定義如次：

考慮所有自然數的無限序列組成的 \omega^{\omega}的子集合A，而其中兩個玩家1p與2p輪流選取自然數
:n_0, n_1, n_2, n_3, ...
在經過無限步後，可得一序列(n_i)_{i \in \omega}，其中玩家1p獲勝當且僅當這序列是A的元素。而決定公理講的是任何這類的遊戲都是決定的，也就是這兩個玩家中其中一人有必勝策略。

不是所有的遊戲的決定性，都需要動用決定公理來證明。在A是一個閉開集的情況下，那這遊戲基本是有限的，也因此是決定的；相似地，若A是一個閉集，那這遊戲是決定的。在1975年，證明說若一個遊戲必勝策略是一個博雷爾集的話，那這遊戲是決定的；此外，在有足夠大的基數存在的狀況下，所有必勝策略是的遊戲都是決定的，而決定公理在中成立。

另外，決定公理蘊含說對於任何實數線的子空間X而言，BM(X)是決定的（也因此所有的實數集合都具有貝爾性質）。

決定公理與選擇公理的不相容性
在假定選擇公理成立的狀況下，我們可以構造決定公理的一個反例。集合S_1是\omega－遊戲G中玩家一的所有策略，其大小與連續統相同；而類似地，S_2是同樣遊戲中玩家二的所有策略。設SG為G中所有可能序列的集合，並假定A是SG中使玩家一獲勝的子序列，那麼利用選擇公理我們可以為連續統構造一個良序，且我們可以構造出一個任何真初始部分都小於連續統的排序，而我們可利用這樣的良序集J來給S_1跟S_2上指標，並藉此將A給構造成決定公理的一個反例。

我們從空集合A與B開始。設\alpha \in J是集合S_1跟S_2的指標，我們考慮玩家一的所有策略S_1 = {s1(\alpha)}及玩家二的所有策略S_2 = {s2(\alpha)}以確保對於任何策略，都會有另一個玩家的策略能將之勝過。對於任何玩家考慮的策略，我們都可生成一個序列，使得另一個玩家獲勝。設t是時間軸，其長度為\aleph_0且這時間軸用於所有的遊戲序列中，我們可以利用A上對\alpha的超限遞歸來生成反例：

首先，考慮玩家一的策略s1(\alpha)。

將這策略套用於\omega－遊戲上，（連同玩家一的策略s1(\alpha)一起）可生成\{a(1), b(2), a(3), b(4)...a(t), b(t+1),...\}這序列，而這序列不屬於A，這是可能的，而這可能性是因為\{b(2), b(4), b(6)...\}這些選項的數量與連續統相同，而這數量比J的真初始部分\{ \beta \in J | \beta 還要大所致。

現在（若這序列還不在B之內的話）將這序列加入B之中以表示s1(\alpha)失敗。（輸給\{b(2), b(4), b(6)...\}）

現在，考慮玩家二的策略s2(\alpha)。

將這策略套用於\omega－遊戲上，（連同玩家二的策略s2(\alpha)一起）可生成\{a(1), b(2), a(3), b(4)...a(t), b(t+1),...\}這序列，而這序列不屬於B，這是可能的，而這可能性是因為\{a(1), a(3), a(5)...\}這些選項的數量與連續統相同，而這數量比J的真初始部分\{ \beta \in J | \beta 還要大所致。

現在（若這序列還不在A之內的話）將這序列加入A之中以表示s2(\alpha)失敗。（輸給\{a(1), a(3), a(5)...\}）

利用對\alpha的超限歸納法，對S_1跟S_2的所有可能策略如是操作，對於所有在這之後不在A或B中的策略，將之任意分派給A或B，使得B為A的補集。

當這一切完成後，準備\omega－遊戲G，而在這遊戲中，對於任何玩家一的策略s1，存在一個\alpha \in J使得s1 = s1(\alpha)，而A的構造方式保證s1(\alpha)失敗（輸給\{b(2), b(4), b(6)...\}），因此s1失敗；類似地，任何玩家的任何其他策略都會失敗，因此決定公理與選擇公理不相容。

無窮邏輯與決定公理
在二十世紀晚期，人們提出多種不同的無窮邏輯，其中一個認為決定公理為真的理由是因為這公理可（在某種無窮邏輯當中）寫成以下形式：

\forall G \subseteq Seq(S):

\forall a \in S: \exists a' \in S: \forall b \in S: \exists b' \in S: \forall c \in S: \exists c' \in S ... : (a,a',b,b',c,c'...) \in G OR

\exists a \in S: \forall a' \in S: \exists b \in S: \forall b' \in S: \exists c \in S: \forall c' \in S ... :(a,a',b,b',c,c'...) \notin G

註：Seq(S)是S的所有\omega－序列。此處的句子長度無限，且在省略號出現處，有可數無窮多的量化詞序列。

大基數與決定公理
決定公理的相容性，與大基數相關公理的相容性息息相關。根據的一個定理，不帶有選擇公理而帶有決定公理的策梅洛-弗蘭克爾集合論的相容性，等價於帶有選擇公理並帶有的策梅洛-弗蘭克爾集合論的相容性。由於​烏丁基數是強不可達基數之故，因此若決定公理是相容的，那不可達基數的無限性也是相容的。

此外，若假設有無窮多個烏丁基數，且其上還存在一個可測基數，大於該些烏丁基數，則可得到一個非常強的、關於勒貝格可測的實數集合的理論，而這是因為可以證明決定公理在中成立，因此所有在中的實數集合都是決定的之故。

參見

  • (ADR)

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參考資料
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延伸閱讀

#大基數 #集合論公理 #決定性

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