的士數

第n個的士數（），一般寫作\operatorname{Ta}(n)或\operatorname{Taxicab}(n)，定義為最小的數能以n個不同的方法表示成兩個正立方數之和。1938年，G·H·哈代與愛德華·梅特蘭·賴特證明對於所有正整數n這樣的數也存在。可是他們的證明對找尋的士數毫無幫助，截止現時，只找到6個的士數（）：

:
\begin{align}
\operatorname{Ta}(1) = 2 & = 1^3 + 1^3
\end{align}

:
\begin{align}
\operatorname{Ta}(2) = 1729 & = 1^3 + 12^3 \\
& = 9^3 + 10^3
\end{align}

:
\begin{align}
\operatorname{Ta}(3) = 87539319 & = 167^3 + 436^3 \\
& = 228^3 + 423^3 \\
& = 255^3 + 414^3
\end{align}

:
\begin{align}
\operatorname{Ta}(4) = 6963472309248 & = 2421^3 + 19083^3 \\
& = 5436^3 + 18948^3 \\
& = 10200^3 + 18072^3 \\
& = 13322^3 + 16630^3
\end{align}

:
\begin{align}
\operatorname{Ta}(5) = 48988659276962496 & = 38787^3 + 365757^3 \\
& = 107839^3 + 362753^3 \\
& = 205292^3 + 342952^3 \\
& = 221424^3 + 336588^3 \\
& = 231518^3 + 331954^3
\end{align}

:
\begin{align}
\operatorname{Ta}(6) = 24153319581254312065344 & = 582162^3 + 28906206^3 \\
& = 3064173^3 + 28894803^3 \\
& = 8519281^3 + 28657487^3 \\
& = 16218068^3 + 27093208^3 \\
& = 17492496^3 + 26590452^3 \\
& = 18289922^3 + 26224366^3
\end{align}

:
\begin{align}
\operatorname{Ta}(7) = 24885189317885898975235988544 & = 2648660966^3 + 1847282122^3 \\
& = 2685635652^3 + 1766742096^3 \\
& = 2736414008^3 + 1638024868^3 \\
& = 2894406187^3 + 860447381^3 \\
& = 2915734948^3 + 459531128^3 \\
& = 2918375103^3 + 309481473^3 \\
& = 2919526806^3 + 58798362^3
\end{align}

\operatorname{Ta}(2)因為哈代和拉馬努金的故事而為人所知：
{{cquote|拉馬努金病重，哈代前往探望。哈代說：「我乘計程車來，車牌號碼是1729，這數真沒趣，希望不是不祥之兆。」拉馬努金答道：「不，那是個有趣得很的數。可以用兩個立方之和來表達而且有兩種表達方式的數之中，\color{blue}{1729}是最小的。」（即1729 = 1^3 + 12^3 = 9^3 + 10^3，後來這類數稱為的士數。）利特爾伍德回應這宗軼聞說：「每個整數都是拉馬努金的朋友。」}}
在\operatorname{Ta}(2)之後，所有的的士數均用電腦來尋找。

Ta(6)的找尋

• 證明了\operatorname{Ta}(6) \le 8230545258248091551205888。
• 1998年證實391909274215699968 \ge \operatorname{Ta}(6) \ge 10^{18}
• 2002年證明\operatorname{Ta}(6) \le 24153319581254312065344
• 2003年5月，確定\operatorname{Ta}(6) > 6.8 \times 10^{19}，且、及顯示\operatorname{Ta}(6) = 24153319581254312065344的機會大於99%。

參考文獻

• G. H. Hardy和E. M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, 3rd ed., Oxford University Press, London & NY, 1954, Thm. 412.
• J. Leech, Some Solutions of Diophantine Equations, Proc. Cambridge Phil. Soc. 53, 778-780, 1957.
• E. Rosenstiel, J. A. Dardis and C. R. Rosenstiel, The four least solutions in distinct positive integers of the Diophantine equation s = x3 + y3 = z3 + w3 = u3 + v3 = m3 + n3, Bull. Inst. Math. Appl., 27(1991) 155-157; MR 92i:11134, [http://www.cix.co.uk/%7Erosenstiel/cubes/welcome.htm online]
• David W. Wilson, The Fifth Taxicab Number is 48988659276962496, Journal of Integer Sequences, Vol. 2 (1999), [http://www.math.uwaterloo.ca/JIS/wilson10.html#RDR91 online]
• D. J. Bernstein, Enumerating solutions to p(a) + q(b) = r(c) + s(d), Mathematics of Computation 70, 233 (2000), 389—394.
• C. S. Calude, E. Calude and M. J. Dinneen: What is the value of Taxicab(6)?, Journal of Universal Computer Science, Vol. 9 (2003), p. 1196-1203

參看

• 一般化的士數：多個多次冪之和
• 士的數：兩個不論正負的立方數之和
• 三立方数和

外部連結

• [http://listserv.nodak.edu/scripts/wa.exe?A2=ind0207&L=nmbrthry&F=&S=&P=1278 A 2002 post to the Number Theory mailing list by Randall L. Rathbun]

*

• [http://euler.free.fr/ Taxicab and other maths at Euler]

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