样本方差

样本方差是依据所给样本对随机变量的方差做出的一个估计。

定义
设 X_1,\cdots,X_n 是随机变量 X 的 n 个样本，则样本方差定义为：

:s^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar X)^2

其中 \bar X 为样本均值。

根据该定义，可以得出：

:s^2 = \frac{1}{n-1}(\sum_{i=1}^{n}X_i^2-n\bar X^2).

无偏性
若随机变量 X 的期望为 \mu、方差为 \sigma^2，则样本方差的期望满足：

:\operatorname{E}(s^2) = \frac{1}{n-1}\big[ \sum_{i=1}^{n} \operatorname{E}(X_i^2) - n\operatorname{E}(\bar X^2) \big]
= \frac{1}{n-1}\big[ \sum_{i=1}^{n} (\sigma^2 + \mu^2) - n(\frac{\sigma^2}{n} + \mu^2) \big]
= \sigma^2

即样本方差是总体方差的无偏估计。

样本方差的定义中，分母的值为n-1而非n，一个重要原因即是这样定义的样本方差是总体方差的无偏估计。这被称为贝塞尔修正。

样本方差的分布
样本方差作为随机变量的（可测）函数，其本身也是一个随机变量。在某些特殊情况下样本方差的分布是已知的。例如，若X_1,\cdots,X_n是独立同分布的正态随机变量，均值和方差为\mu和\sigma^2，则(n-1)s^2/\sigma^2服从自由度为n-1的卡方分布。