位置算符

在量子力學裏，位置算符（）是一種量子算符。對應於位置算符的可觀察量是粒子的位置。位置算符的本徵值是位置向量。採用狄拉克標記，位置算符 \hat{x} 的本徵態 |x\rang 滿足方程式
:\hat{x}|x\rang=x|x\rang ；

其中，x 是本徵值，是量子態為 |x\rang 的粒子所處的位置，x 只是一個數值。

位置空間表現
設定量子態 |\Psi\rang=\hat{x}|\psi \rang 。量子態 |\Psi\rang 、|\psi\rang 的位置空間表現，即波函數，分別定義為
:\Psi(x)\ \stackrel{def}{=}\ \lang x|\Psi\rang 、
:\psi(x)\ \stackrel{def}{=}\ \lang x|\psi\rang 。

在位置空間裡，定義算符 \hat{\mathfrak{x}} 為
:\hat{\mathfrak{x}}\psi(x)\ \stackrel{def}{=}\ x\psi(x) 。

在位置空間裡，使用連續本徵態 |x'\rang 所組成的基底，任意量子態 |\psi\rang 展開為
:|\psi \rang = \int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{d}x'\ |x'\rang\lang x'|\psi\rang 。

將量子算符 \hat{x} 作用於量子態 |\psi\rang ，可以得到
:\hat{x}|\psi \rang =\hat{x} \int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{d}x'\ |x'\rang\lang x'|\psi\rang
=\int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{d}x'\ x' |x'\rang\lang x'|\psi\rang
=\int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{d}x'\ x' \psi(x')|x'\rang
=\int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{d}x'\ \hat{\mathfrak{x}}\psi(x') |x'\rang
。

應用狄拉克正交歸一性，\lang x|x'\rang
=\delta(x-x') ，這方程式與左矢 \lang x| 的內積為
:\lang x|\hat{x}|\psi \rang =\int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{d}x'\ \hat{\mathfrak{x}}\psi(x') \lang x|x'\rang
=\int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{d}x'\ \hat{\mathfrak{x}}\psi(x') \delta(x-x')
=\hat{\mathfrak{x}}\psi(x) 。

量子態 |\Psi\rang 的展開式為
:\Psi \rang =\int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{d}x'\ |x'\rang\lang x'|\Psi\rang
=\int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{d}x'\ \Psi(x')|x'\rang
。

應用狄拉克正交歸一性，這方程式與左矢 \lang x| 的內積為
:\lang x|\Psi \rang =\int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{d}x'\ \Psi(x')\lang x|x'\rang
=\int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{d}x'\ \Psi(x') \delta(x-x')
=\Psi(x) 。

所以，兩個波函數 \Psi(x) 、\psi(x) 之間的關係為
:\Psi(x)=\hat{\mathfrak{x}}\psi(x) 。

總結，位置算符 \hat{x} 作用於量子態 |\psi\rang 的結果 |\Psi\rang ，表現於位置空間，等價於波函數 \psi(x) 與 x 的乘積 \Psi(x) 。位置算符 \hat{x} 的位置空間表現是位算符 \hat{\mathfrak{x}} ，可以稱算符 \hat{\mathfrak{x}} 為位置算符。

本徵函數
假設，在位置空間裡，位置算符 \hat{\mathfrak{x}} 的本徵值為 q 的本徵函數是 g_q(x) 。用方程式表達，
:\hat{\mathfrak{x}}g_q(x)=q g_q(x) 。

這方程式的一般解為，
:g_q(x)=g_0 \delta(x - q) ；

其中，g_0 是常數，\delta(x - q) 是狄拉克δ函數。

注意到 g_q(x) 無法歸一化：
:\int_{ - \infty}^{\infty}\ g_q^*(x)g_q(x)\ dx=|g_0|^2 \int_{ - \infty}^{\infty}\ \delta^2(x - q)\ dx=\mbox{?} 。

設定 g_0=1 ，函數 g_q(x) 滿足下述方程式：
:\int_{ - \infty}^{\infty}\ g_{q1}^*(x)g_{q2}(x)\ dx=\int_{ - \infty}^{\infty}\ \delta(x - q1)\delta(x - q2)\ dx=\delta(q1-q2) 。

這性質不是普通的正交歸一性，這性質稱為狄拉克正交歸一性。因為這性質，位置算符的本徵函數具有完備性，也就是說，任意波函數 \psi(x) 都可以表達為本徵函數的線性組合：
:\psi(x)=\int_{ - \infty}^{\infty}\ \psi(q)g_{q}(x)\ dq 。

雖然本徵函數 g_q(x) 所代表的量子態是無法實際體現的，並且嚴格而論，不是一個函數，它可以視為代表一種理想量子態，這種理想量子態具有準確的位置 q ，因此，根據不確定性原理，這種理想量子態的動量呈均勻分佈。

期望值
採用位置空間表現，設想一個移動於一維空間的量子粒子。在這裏，希爾伯特空間是 \mathcal{H} = L^2(\mathbb{R}) ，是實值定義域的平方可積函數的空間。兩個態向量的內積是
:\lang \psi_1| \psi_2 \rang = \int_{ - \infty}^{\infty}\psi_1^*(x)\psi_2(x) \, \mathrm{d}x 。

對於任意量子態 \psi ，可觀察量 x 的期望值為
: \lang x \rang\ \stackrel{def}{=}\ \lang \psi | \hat{x} |\psi \rang 。

位置算符 \hat{x} 作用於量子態 |\psi\rang 的結果，表現於位置空間，等價於波函數 \psi(x) 與 x 的乘積，所以，
: \lang x \rang =\int_{ - \infty}^{\infty} \psi^\ast (x) \, x \, \psi(x) \, \mathrm{d}x
= \int_{ - \infty}^{\infty} x \, |\psi(x)|^2 \, \mathrm{d}x 。

粒子處於 x 與 x+dx 微小區間內的機率是
: p(x) \mathrm{d}x = \psi^*(x)\psi(x) \mathrm{d}x 。

粒子位置與機率的乘積在位置空間的積分，就是粒子位置的期望值。

三維案例
推廣至三維空間相當直截了當，參數為三維位置 \mathbf{r} 的波函數為 \psi(\mathbf{r}) ，位置的期望值為
: \langle \mathbf{r} \rangle = \int_{\mathbb{V}} \mathbf{r} |\psi(\mathbf{r})|^2 \mathrm{d}^3 \mathbf{r} ；

其中，\mathbb{V} 是積分體積。

位置算符 \mathbf{\hat{\mathfrak{r}}} 的作用為
:\mathbf{\hat{\mathfrak{r}}}\psi=\mathbf{r}\psi 。

對易關係
位置算符與動量算符的對易算符，當作用於波函數時，會得到一個簡單的結果：
:[\hat{x},\ \hat{p}]\psi=(\hat{x}\hat{p} - \hat{p}\hat{x})\psi=x\frac{\hbar}{i}\frac{\partial\psi}{\partial x} - \frac{\hbar}{i}\frac{\partial (x\psi)}{\partial x}=i\hbar\psi 。

所以，[\hat{x},\ \hat{p}]=i\hbar 。這關係稱為位置算符與動量算符的對易關係。由於兩者的對易關係不等於 0 ，位置與動量彼此是不相容可觀察量。\hat{x} 與 \hat{p} 絕對不會擁有共同的基底量子態。一般而言，\hat{x} 的本徵態與 \hat{p} 的本徵態不同。

根據不確定性原理，
:\Delta A\ \Delta B \ge \left|\frac{\langle[ A,\ B]\rangle}{2i}\right| 。

由於 x 與 p 是兩個不相容可觀察量，\left|\frac{\langle[\hat{x},\ \hat{p}]\rangle}{2i}\right| =\hbar/2 。所以，x 的不確定性與 p 的不確定性的乘積 \Delta x\ \Delta p ，必定大於或等於 \hbar/2 。

參考文獻