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状态转移方程

Wikipedia · 2025-10-20 维基百科 👁 1 阅读

状态转移方程（State-transition equation）定義為以下線性齊次狀態方程的解。線性時不變狀態方程\frac {dx(t)}{dt}=Ax(t)+Bu(t)+Ew(t)
其狀態向量為、控制向量為、附加擾動向量為以及定值的係數矩陣，此方程可以用求解線性微分方程的經典方式求解，或是用拉普拉斯变换求解。以下即用拉普拉斯变换求解。
上式的拉普拉斯变换為
s\mathbf{X}(s) - \mathbf{x}(0) = \mathbf{AX}(s) + \mathbf{BU}(s) + \mathbf{EW}(s)
其中是時的初始值向量。求解可得
\mathbf{X}(s) = (s\mathbf{I} - \mathbf{A})^{-1} \mathbf{x}(0) + (s\mathbf{I} - \mathbf{A})^{-1}[\mathbf{BU}(s) + \mathbf{EW}(s)].
因此，可以用拉普拉斯逆变换求得状态转移方程為
\begin{align}
x(t) &= \mathcal{L}^{-1} \Bigl\{ (s\mathbf{I} - \mathbf{A})^{-1}\Bigr\} \mathbf{x}(0) + \mathcal{L}^{-1} \Bigl\{(s\mathbf{I} - \mathbf{A})^{-1} [\mathbf{BU}(s) + \mathbf{EW}(s)] \Bigr\} \\
&= \mathbf{\Phi}(t) \mathbf{x}(0) + \int_{0}^{t} \mathbf{\Phi}(t - \tau)[\mathbf{Bu}(\tau) + \mathbf{Ew}(\tau)]dt
\end{align}
其中是狀態轉移矩陣。

上述的状态转移方程只適用在初始時間定義在的情形。在控制系統研究裡，尤其是離散資料的控制系統，常會要將狀態轉移流程拆解為一連串的轉移，因此需要比較靈活的初始時間選擇。令初始間表示為，對應的初始狀態為，假設輸入和擾動是在時給定。
從上述方程開始，設定，求解，可得
\mathbf{x}(0) = \mathbf{\Phi}(-t_0) \mathbf{x}(t_0) - \mathbf{\Phi}(-t_0) \int_{0}^{t_0}\mathbf{\Phi}(t_0 - \tau)[\mathbf{Bu}(\tau) + \mathbf{Ew}(\tau)]d\tau.
只要確定了狀態轉移方程，可以將輸出向量表示為初始狀態的函數。

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*反馈
*过程控制
*PID控制器

參考資料
外部連結

#控制理论

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