儀器，可以將入射的銀原子束，分裂成兩道銀原子束，一道銀原子束的S_z為上旋，另一道銀原子束的S_z為下旋。在這裏，S_z是可觀察量。]]
在物理學裏，特別是在量子力學裏，處於某種狀態的物理系統，它所具有的一些性質，可以經過一序列的物理運作過程而得知。這些可以得知的性質，稱為可觀察量（）。例如，物理運作可能涉及到施加電磁場於物理系統，然後使用實驗儀器測量某物理量的數值。在經典力學的系統裏，任何可以用實驗測量獲得的可觀察量，都可以用定義於物理系統狀態的實函數來表示。在量子力學裏，物理系統的狀態稱為量子態，其與可觀察量的關係更加微妙，必須使用線性代數來解釋。根據量子力學的數學表述，量子態可以用存在於希爾伯特空間的態向量來代表，量子態的可觀察量可以用厄米算符來代表。
數學表述
本徵態
假設，物理量O是某量子系統的可觀察量，其對應的量子算符\hat{O}，可能有很多不同的本徵值O_i與對應的本徵態|e_i\rang，這些本徵態|e_i\rang,\quad i=1,\ 2,\ 3,\ \cdots,n，形成了具有正交歸一性的基底：
假設，量子態|\psi\rang等於這些本徵態之中的一個本徵態|e_k\rang，則對於這量子系統，測量可觀察量O，得到的結果必定等與本徵值O_k，機率為1，量子態|\psi\rang是「確定態」。
統計詮釋
根據統計詮釋，對應於可觀察量的量子算符可能有很多本徵值，測量結果只能是其中一個本徵值，而且，每一個本徵值出現的機會呈機率性。測量這個動作會將量子系統的量子態改變為對應於本徵值的本徵態，並且，在之後短暫片刻內，量子系統的量子態仍舊是這本徵態。
假設，某量子系統的量子態為
:|\psi\rang=\sum_i \ c_i|e_i\rang。
測量這個動作會將量子系統的量子態改變為算符\hat{O}的一個本徵態。假設量子態改變為本徵態|e_i\rang，則改變為這本徵態的機率為p_i=|c_i|^2，測量結果是本徵值O_i，得到這本徵值的機率也為p_i。在測量之後短暫片刻內，量子系統的量子態仍舊是本徵態|e_i\rang。
將算符\hat{O}作用於量子態|\psi\rang，會形成新量子態|\phi\rang：
:|\phi\rang=\hat{O}|\psi\rang=\sum_i \ c_i\hat{O}| e_i\rang=\sum_i \ c_i O_i| e_i\rang。
從左邊乘以量子態\lang\psi|，經過一番運算，可以得到
:\lang\psi|\phi\rang =\lang\psi|\hat{O}|\psi\rang=\sum_i \ c_i O_i\lang\psi| e_i\rang=\sum_i\ |c_i|^2O_i =\sum_i\ p_iO_i 。
所以，每一個本徵值與其機率的乘積，所有乘積的代數和就是可觀察量O的期望值：
:\lang O\rang\ \stackrel{def}{=}\ \lang\psi|\hat{O}|\psi\rang=\sum_i\ p_iO_i 。
厄米算符
每一種經過測量而得到的物理量都是實數，因此，可觀察量O的期望值是實數：
:\lang O\rang=\lang O\rang^*。
對於任意量子態|\psi\rang，這關係都成立：
:\lang \psi|\hat{O}|\psi\rang=\lang \psi|\hat{O}|\psi\rang^*。
根據伴隨算符的定義，假設\hat{O}^{\dagger}是\hat{O}的伴隨算符，則\lang \psi|\hat{O}|\psi\rang^*=\lang\psi |\hat{O}^{\dagger}|\psi\rang。因此，
:\hat{O}=\hat{O}^{\dagger}。
這正是厄米算符的定義。所以，表現可觀察量的算符，都是厄米算符。}}假設量子系統的量子態為|\psi\rang。對於算符\hat{A}，所有本徵值為a_i的本徵態|\alpha_i\rang,\quad i=1,\ 2,\ 3,\ \cdots,n，形成一個基底。量子態|\psi\rang可以表示為這組基底本徵態的線性組合：
:|\psi\rang=\sum_i \ c_i|\alpha_i\rang；
其中，c_i=\lang \alpha_i |\psi \rang是複係數，是在量子態|\alpha_i\rang裏找到量子態|\psi\rangle的機率幅。
對於算符\hat{B}，所有本徵值為b_i的本徵態|\beta_i\rang,\quad i=1,\ 2,\ 3,\ \cdots,n，形成了另外一個基底。量子態|\psi\rang可以表示為這組基底本徵態的線性組合：
:|\psi\rang=\sum_i \ d_i|\beta_i\rang；
其中，d_i=\lang \beta_i |\psi \rang是複係數，是在量子態|\beta_i\rang裏找到量子態|\psi\rangle的機率幅。
對於量子系統的可觀察量A做測量，可能得到的結果是各種本徵態|\alpha_i\rang的本徵值a_i，獲得這些不同結果的機會具有機率性，可以表達為機率分佈，結果為a_i的機率是|c_i|^2。
假設測量的結果是本徵值a_j，則可以推斷，在測量之後短暫片刻內，量子態是本徵態|\alpha_j\rang。假若立刻再測量可觀察量A，由於量子態仍舊是本徵態|\alpha_j\rang，所得到的測量值是本徵值a_i機率為1。假若立刻再對本徵態|\alpha_j\rang測量可觀察量B，則會得到統計性的答案。假設測量的結果是本徵值b_k，則可以推斷，在測量之後短暫片刻內，量子態是本徵態|\beta_k\rang。
根據不確定性原理，
:\Delta A\ \Delta B \ge \left|\frac{\lang[ \hat{A},\hat{B}]\rang}{2i}\right| 。
設定\chi=\left|\frac{\lang[ \hat{A},\hat{B}]\rang}{2i}\right| 。假設，A與B是兩個不相容可觀察量，則\chi>0。而A的不確定性與B的不確定性的乘積\Delta A\ \Delta B ，必定大於或等於\chi。
實例
為了具體計算位置與動量的期望值，可以將量子態表現於位置空間，以位置空間的波函數來表示，使用對應的代數算符。
位置與動量
位置x，動量p都是可觀察量，它們的算符都是厄米算符：
:\lang x\rang=\int_{ - \infty}^{\infty}\ \psi^ x \psi \ dx=\int_{ - \infty}^{\infty}\ (x\psi)^ \psi \ dx=\lang x\rang^*，
:\lang p\rang=\int_{ - \infty}^{\infty}\ \psi^ \left(\frac{\hbar}{i}\frac{\partial }{\partial x}\psi\right)\ dx=\int_{ - \infty}^{\infty}\ \left(\frac{\hbar}{i}\frac{\partial }{\partial x}\psi\right)^ \psi\ dx=\lang p\rang^*。
角動量
在三維空間裏，角動量算符的x-分量\hat{L}_x是厄米算符。因為
:\lang L_x\rang^=\lang yp_z-zp_y\rang^=\lang yp_z-zp_y\rang=\lang L_x\rang；
其中，y與z分別是位置的y-分量與z-分量，p_y與p_z分別是動量的y-分量與z-分量。
類似地，角動量算符的y-分量\hat{L}_y也是厄米算符。
參閱
*位置算符
*動量算符
*角動量算符
*哈密頓算符
註釋
參考文獻
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